几何，初三数学难题。
验证:AA+CC=BB+DD
现在对原问题做一些修改。直线MN是“形状外的任何直线”。如果直线发生位移会怎么样？
(1)从图1向上移动MN，使A点在MN的一边，B、C、D在MN的另一边(如图2)。AA、BB、CC、DD之间是什么关系？
⑵从图2中，向上移动MN(图3)。AA、BB、CC、DD之间是什么关系？
根据图2和图3，写出你的猜测并证明。
启示思路1:通过实测，找到垂直段之间的关系。
在测试问题中，我们被问及“垂直线段AA、BB、CC和DD之间的关系是什么？”很明显的告诉我们长度和它们长度差的关系。如何知道几个垂直线段的长度？精确测量是求解线段长度的基本方法。(人民教育出版社出版的《几何》第一册和《物理》第一册都介绍了具体的测量方法。)在学习几何的过程中，为了发现问题，如果图形画得比较准确，也可以用测量的方法去探索思路，测量后加以证明。根据图2和图3，测量结果如下:
图B中每个垂直截面的长度:
AA=0.6cm，BB=0.4cm，CC=2.2cm，DD=1.2cm。
图C中每个垂直截面的长度:
AA=1.4cm，BB=0.5cm，CC=1.3cm，DD=0.4cm。
根据实际测量数据，发现它们的关系是:
从图B可以得出一个结论:CC-AA = BB+DD = 1.6 cm。
从图C可以得出一个结论:AA-CC = DD-BB = 0.1 cm。
通过测量，我们找到了所需线段之间的关系。现在让我们证明这个结论:
在这种情况下，从课本上一个熟悉的问题，通过运动把固定的直线MN变成运动的直线MN，向上平移，就成了一个新题目，一个怪问题。
为了证明这个结论，我们可以认为，既然直线MN可以向上平移，那我们不也可以向下平移直线MN吗？还原原貌，把不熟悉的问题变成熟悉的问题。
证明一个新的结论，AA-CC = BB-DD。
证明:(1)对于图B的结论，证明CC-AA = BB+DD。将MN平行移动到MN的位置，使MN脱离ABCD的形状。设AA，BB，CC，DD分别在A，B，CC，D中与MN交叉。
∵AA，BB，CC，DD分别垂直于a，b，c，d中的MN。∴AA，BB，CC，DD分别垂直于a，b，c，d中的MN，AA=BB=CC=DD。教材证明结论是AA+CC=BB+DD。
即(aa-aa)+(cc+cc) = (bb+bb)+(DD+DD)
证明了∴ CC-AA = DD+BB图b的结论。
(2)对于图C的情况的证明，通过模仿(1)的做法，将直线MN平移出ABCD的形状，用类似图b的证明方法可以得到AA-CC = BB-DD。
启示思路二:构造同余，研究线段之间的关系。
研究线段之间的关系，我们通常尝试构造全等三角形，可以找到思路:
(1)如图，设BQCC，q为竖尺，则BBCQ为矩形，∴BB=CQ，cqb = 90。
对于APDD，p是垂直英尺，那么AADP是矩形，∴AA=PD，APD = 90 °, ∴cqb=apd.
∵ABCD是平行四边形，∴ADBC
∵DDMN,CCMN,∴DD∥CC
∴ADP=BCQ
∴ADP≌BCQ,∴DP=CQ
也就是DD+DP = cc-QC。
AA = DP，QC=BB
∴DD+AA=CC-BB
∴CC-AA=BB+DD
(2)如图，同样原理可以证明:AA-CC = BB-DD。
这个例子也通过下面构造全等三角形的方法来证明:
如上两张图所示，可以证明模仿和揭示1的想法
全境通告≌CQD，然后我们可以得到:
CC-AA=BB+DD，AA-CC=BB-DD
揭示思路三:利用梯形中线法打开思路。
观察图B可以发现梯形CCDD，图C有梯形AABD和CCDD，从中可以联想到梯形中线的性质。是打开天梯问题的一种常规方法，效果如预期。
(1)连接AC和BD相交于O点，过O点为OOMN，垂足为O。
ddmn，BBMN，OOMN，o是BD的中点，∴DDBB是梯形，OO是中线，
∴OO=(BB+DD)
①
连接AA和AC，在f点延伸OO和AC，在e点延伸OO交点AC，aamn，CCMN，∴AACC是梯形，也是AC，OOMN的中点。
∴EF是梯形AACC的中线。
∴OO+OF=CC,OF=AA
∴OO=(CC-AA)
②
根据①和②，CC-AA = BB+DD。
⑵对于两条垂直线段AA和CC，在直线MN的两侧，从⑵的证明可以看出:OO = (CC-AA)。
对于BB，DD，两个垂直线段位于直线MN的两侧。同理，OO = (DD-bb)。
∴AA-CC=BB-DD