启东中学练习册七年级数学第16页的问题。

(1)已知|ab-2|和|b-1|互为反义词:|ab-2|=0和|b-1|=0(只有非负数中0的相反数为0)，即先b=1再a .所以代数表达式为:

1*2+2*3+3*4+4*5+……+2009*2010

=1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)+4*(4+1)+…+2009*(2009+1)

=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+(4^2+4)+…+(2009^2+2009)

=(1+2+3+4+…+2009)+(1^2+2^2+3^2+4^2+…+2009^2)

(2)1+2+3+4+…+2009的和可以通过基本公式求出，即1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2。

这个公式的关键是求1 ^ 2+2 ^ 2+3 ^ 2+4 ^ 2+…+2009 ^ 2的值；下面是公式的推导:

这里有两个方法，设sn = 1 ^ 2+2 ^ 2+...+n 2。

方法1:

(可以理解为1 1+2 2+3 3+…+n N)展开成。

1+2+3+4+5……+n

+2+3+4+5+……+n

3+4+5+……+n

4+5+……+n

……

+n

使用求和公式:

(1+n)n/2

+(2+n)(n-1)/2

+……

+(n+n)(n-(n-1))/2

化简= 0.5 *[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n-4)(n-3)+...(n+n) (n

这相当于得到了一个关于Sn的方程。

简化它:

n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3sn，

得到

sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n=1/6*n(n+1)(2n+1)

方法二:

Sn=S(n-1)+n^2

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]

即sn-1/3 * n3-1/2 * N2-n/6 = s(n-1)-1/3 *(n-1)3-65448。

好吧！等式左边全是n，右边全是(n-1)。如果我们继续递归，我们可以得到

sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6

=s(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6

=s(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6

……

=s(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6

=0

所以sn = 1/3 * n3+1/2 * n+1/6 * n。

所以原来的公式= 2009 *(2009+1)/2+2009 *(2009+1)*(2 * 2009+1)/6 = 270686330。

这道题第二个公式的推导对学生来说相当难。

最后我会帮楼主的！！