高中数学必修课不等式关系与不等式教案。

教学分析

本课的研究是初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展。在本课的过程中，学生将回忆实数的基本理论，并将两个代数表达式的大小与实数的基本理论进行比较。

通过本课的学习，学生可以从一系列具体的问题情境中感受到现实世界和日常生活中存在大量的不等式关系，充分理解不等式关系的存在和应用。从数学的角度观察、总结、抽象不等式关系的相关材料，完成量与量的比较过程。即这些不等式关系可以用不等式或不等式组来表示。

在这节课的学习过程中，安排了一些简单的问题，学生很容易处理。目的是让学生重视数学知识和方法的应用，同时能激发学生的学习兴趣，真诚地产生用数学工具研究不等式的愿望。根据这节课的教学内容，可以再现和回忆实数的基本理论，可以比较两个代数表达式的大小与实数的基本理论。

在这种教学中，教师可以让学生阅读书中的例题，充分利用数形结合这一简单工具，直接利用实数与数轴上的点的一一对应关系，从数形两方面建立实数的顺序关系。要在复习旧的基础上，提高学生对不等式的理解。

三维目标

1.在学生理解不等式的实际背景下，运用数轴上回忆实数的基本理论，理解实数的大小与数轴上对应点位置的关系。

2.将作为差分法判断实数和代数表达式的大小，匹配法判断二次表达式的大小和范围。

3.提高学生对不等式的理解，激发学生的学习兴趣，通过温故而知新，体验数学的奥秘和结构美。

重点和难点

教学重点:比较实数和代数表达式的关系，判断二次表达式的大小和范围。

教学难点:准确比较两个代数表达式的大小。

班级安排

1课时

教学过程

介绍一门新课

想法1。(章节图片介绍)通过卫星、宇宙飞船的多媒体展示和一幅重叠山脉的壮观画面，把学生带入？隔岭望成峰，远近不同？学生在浩瀚的自然界和宇宙中，在特定的情境中，感受到现实世界和日常生活中存在大量的不平等关系，从而产生了用数学研究不平等关系的强烈愿望，自然引入新课程。

思路二。(情境介绍)列举学生在现实生活中熟悉的例子，如学生的身高、体重、离学校的距离、百米赛跑的时间、数学成绩的多少，用数量描述一些客观事物的不对等关系。这些不平等关系如何用数学表达？让学生自由联想，教师组织不平等关系的相关材料，让学生用数学的观点观察总结，让学生感受到不平等关系和平等关系一样，大量存在于现实世界和日常生活中。这样，学生就会真诚地产生用数学工具研究不平等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，引入新课。

推进新课程

探索新知识

提出问题

？1?回忆初中学过的不等式，让学生说？不平等关系？用什么？不平等？如何用不等式来研究和表达不等式？

？2?在现实世界和日常生活中，既有平等关系，也有大量的不平等关系。可以举一些实际例子吗？

？3?数轴上任意两点与对应的两个实数有什么关系？

？4?任意两个实数有什么关系？如何用逻辑术语表达这种关系？

活动:教师引导学生回忆初中时学过的不等式概念，让学生明确？不平等关系？用什么？不平等？异同。不平等关系强调关系。符号可以用吗？& gt& lt代表，而不平等则代表两者的不平等关系，可用？a & gt文学士

师生一起举日常生活中的不平等的例子，可以让学生充分合作讨论，让学生感受到现实世界中存在大量的不平等。学生在了解某些不等式的实际背景的前提下，可以进一步学习不等式的相关内容。

例1:某日天气预报报最高气温32℃，最低气温26℃。

例2:数轴上任意两个不同的点A和B，如果点A在点B的左边，那么xA

例3:如果一个数是非负的，那么它大于或等于零。

例4:两点之间的线段最短。

例5:三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

例6:限速40 km/h的路标表示，驾驶员在前方道路上行驶时，应保持车速v在40 km/h以下。

例7:某品牌酸奶质量检验规定酸奶中脂肪含量不得低于2.5%，蛋白质含量不得低于2.3%。

老师进一步点拨:发现身边的数学当然好，这说明学生进入了数学这门学科，但是我们在学习数学的同时，能够用数学的视角和观点去观察、总结、抽象这些量，这是我们每个学习数学的人必须要做的。那么，我们可以用什么知识来表达这些不平等的关系呢？学生很容易想到用不等式或不等式组来表示这些不平等关系。那么不等式就是连接两个符号不相等的代数表达式的公式，比如-7

老师指导学生用不等式表达上述七个例子。例1，如果用T来表示某一天的温度，那么26℃？t？32℃.例3，如果X代表非负数，那么X？0.示例5，|AC|+|BC| >|AB|，如下图。

|AB|+|BC| >|AC| 、|AC|+|BC| >|AB| 、|AB|+|AC| >|BC|。

| AB |-| BC | & lt；|AC| 、| AC |-| BC | & lt；|AB| 、| AB |-| AC | & lt；|BC|。也可以交换被减数和被减数的位置。

例6，如果速度用V表示，那么V？40 km/h例7，F？2.5%，p？2.3%.对于例7，老师要指导学生注意酸奶中的脂肪含量和蛋白质含量要同时满足，避免写成F？2.5%还是p？2.3%，这个不对。但是可以表示为f？2.5%和p？2.3%.

老师让学生依次回答上述问题，然后用投影仪给出课本上的两个结论。

讨论结果:

(1)(2)省略；(3)数轴上任意两点，右点对应的实数大于左点对应的实数。

(4)对于任意两个实数a和b，当a=b时，a >；b，a0？a & gtb；a-b=0？a = b；a-b & lt；0?a

应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动:使学生熟悉两个代数表达式大小比较的基本方法:差和搭配。

点评:本节有两个例题是用因式分解法和应用配点法求解的，这两种方法在代数变形中经常用到，学生应该掌握。

变体训练

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的关系为()。

A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

成本加运费价

答:答

解析:f(x)-g(x)= x2-2x+2 =(x-1)2+1？1 & gt；0,?f(x)>g(x)。

2.已知x？0，比较(x2+1)2和x4+x2+1的大小。

解:from(x2+1)2-(x4+x2+1)= x4+2 x2+1-x4-x2-1 = x2。

∵x？0，x2 & gt0.因而(x2+1)2 >；x4+x2+1。

例2比较以下各组的大小(A？b)。

(1)a+b2和21A+1B (A >: 0，b & gt0);

(2)a4-b4和4a3(a-b)。

活动:比较两个实数的大小，往往是根据实数的运算性质与大小顺序的关系，判断它们的差符号来确定的。这个例子可以由学生独立完成，但要指导学生在最后的符号判断和推理中有充分的理由，不能忽视。

解:(1)A+B2-21A+1B = A+B2-2 ABA+B =？a+b？2-4ab2？a+b？=?a-b？22?a+b？。

∵a & gt；0，b & gt0和a？b，？a+b & gt；0，(a-b)2 & gt；0.a-b？22?a+b？& gt0，即a+B2 & gt；21a+1b。

(2)a4-B4-4a 3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+B2)-4a 3(a-b)

=(a-b)(a3+a2 b+ab2+B3-4a 3)=(a-b)[(a2 b-a3)+(ab2-a3)+(B3-a3)]

=-(a-b)2(3 a2+2 ab+B2)=-(a-b)2[2 a2+(a+b)2]。

∫2 a2+(a+b)2？0(当且仅当a=b=0时取等号)，

又是a？b，？(a-b)2 >0，2 a2+(a+b)2 & gt；0.？-(a-b)2[2 a2+(a+b)2]& lt；0.

？a4-B4 & lt；4a3(a-b)。

点评:比较尺寸常作为一种差异方法，一般步骤是做一个差异变形判断符号。变形的常用手段是分解因子和公式，前者会？穷？变成？产品？，后者会吗？穷？变成一条或多条完全平坦的道路。然后呢。，或者两者都有。

变体训练

已知x & gty和y 0，比较xy和1的大小。

活动:比较任意两个数或表达式之间的大小关系，只要确定它们的差与0之间的大小关系即可。

解:xy-1=x-yy。

∵x & gt；y，？x-y & gt；0.

当y < 0时，x-YY

当y & gt0，x-YY & gt；0，即xy-1 >；0.？xy & gt1.

点评:字母Y取不同值时，差值xy-1是不一样的，所以有必要讨论一下Y分类。

根据建筑设计，住宅建筑的窗户面积必须小于建筑面积。但根据采光标准，窗户面积与建筑面积的比值不应小于10%，比值越大，住宅的采光条件越好。问题:当窗户面积和建筑面积同时增加时，住宅建筑的采光条件是变好还是变坏？请说明原因。

活动:解题的关键是先把文字语言转换成数学语言，然后进行前后比，采用差分法。

解法:设住宅窗户面积和建筑面积分别为A和B，增加的面积为M，根据问题A的要求。

因为a+mb+m-ab=m？b-a？b？b+m？& gt0，所以a+m b+ m & gt；Ab。又是ab？10%,

所以a+m b+ m & gt；ab？10%.

所以同时增加相等的窗户面积和楼层面积后，房子的采光条件变好了。

点评:一般来说，如果A和B都是正实数，且a0，则A+M b+ M >；ab。

变体训练

已知a1，a2，？对于一切都大于零的几何级数，公比Q？1，那么()

a . a 1+A8 & gt；a4+a5 B.a1+a8

C.a1+A8 = a4+a5D。A1+A8和A4+A5大小不确定。

答:答

分析:(a 1+A8)-(A4+A5)= a 1+a 1q 7-a 1q 3-a 1q 4

= a 1[(1-Q3)-Q4(1-Q3)]= a 1(1-q)2(1+q+Q2)(1+q)(1+Q2)。

∫{ an }一切都大于零。q & gt0，即1+q & gt；0.

又是q？1,?(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a 1+A8 & gt；a4+a5。

知识和能力培训

1.以下不等式:1 a2+3 >；2a；②a2+B2 & gt；2(a-b-1)；③x2+y2 & gt；2xy。永远为真的不等式的个数是()。

A.3 B.2 C.1 D.0

2.比较2x2+5x+9和x2+5x+6的大小。

回答:

1的分析。c:∫2 a2+B2-2(A-B-1)=(A-1)2+(B+1)2？0,

③x2+y2-2xy=(x-y)2？0.

？只有①恒持有。

2.解:因为2 x2+5x+9-(x2+5x+6)= x2+3 & gt；0,

所以2 x2+5x+9 & gt；x2+5x+6。

课程总结

1.师生共同完成这节课的总结，从实数基本性质的复习到两个实数大小的比较方法；从实例的活动询问和评论到随后的变体训练，让学生化繁为简，联系旧知识，将本节课所学内容纳入现有知识体系。

2.老师画龙点睛，指出利用实数的基本性质比较两个实数的大小时容易犯的错误，鼓励有余力的同学在课后的思考和讨论上做进一步的探索。

家庭作业

练习3？1A组3；练习3？1B组2。

设计印象

1.本节的设计注重教学方法的优化。经验告诉我们，最能体现教学规律的教学过程应根据具体情况在课堂上选择和设计，不宜长期使用固定的教学方法或原封不动地照搬一个实验模型。各种教学方法都不能很好地适应所有的教学活动。也就是说，世界上没有万能的教学法。根据性格灵活多变。

2.本节设计注重难度控制。不等式的应用范围很广，可以说与其他所有内容都有交叉。一直是历年高考的焦点和热点。作为本章的开头，可以适当拓宽，可以看作是学生自由探索社团的平台，但也不要过分扩大，以免给学生带来负面影响。

3.这一部分的设计侧重于学生思维能力的训练。培养学生的思维能力，提高思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是中学数学教育的主线。一题多解，有助于思维的发散和灵活，克服思维的僵化。变式训练教学可以拓展学生的思维视野，解题后的反思有助于提高学生的批判性思维品质。

备课材料

业余练习

1.比较(x-3)2和(x-2)(x-4)的大小。

2.试判断以下几对代数表达式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5；(2)a2-4a+3和-4a+1。

3.已知x & gt0，验证:1+x2 & gt；1+x。

4.如果x

5.让a & gt0，b & gt0和a？b、试比较aabb和abba的大小。

参考答案:

1.解:∫(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

= 1 & gt；0,

？(x-3)2 >(x-2)(x-4)。

2.解法:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2。

∫m2？0,?(m2-2m+5)-(-2m+5)？0.

？m2-2m+5？-2m+5。

(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2。

∵a2？0,?a2+2？2 & gt0.

？a2-4a+3 >-4a+1。

3.证明:∫(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24，

∵x & gt；0,?x24 & gt0.

？(1+x2)2 & gt；(1+x)2。

由x & gt0，1+x2 & gt；1+x。

4.解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y)。

∵x0，x-y & lt；0.

？-2xy(x-y)>0.

？(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)。

5.解法:∫aabbabba = aa-bb b-A =(ab)A-b，而A呢？b，

当a & gtb & gt0，ab & gt1，a-b & gt；0,

然后是(ab)A-B >；1，所以AABB >；阿爸。

当b & gta & gt在0，0

然后是(ab)A-B >；1.

所以aabb & gtabb公司

综上所述，对于不相等的正数A和B，有AABB >；阿爸。

高中数学必修课《不等式关系与不等式》教案二备考。

教学目标

熟练掌握不等式的证明

教学中的重点和难点

熟练掌握不等式的证明

教学过程

不等式的证明2

基本功

1.如果，，那么下面的不等式总是正确的()

2.设a和b是实数，那么最小值是()。

4.证明:对于任意一个公式数X，Y，Z，以下三个不等式不能同时成立。