概率统计在中学教学中的应用

3 .挖掘史料，让学生体验概率统计的思维方法

概率统计是中学数学新课程的重要组成部分。它研究随机现象的统计规律性，有独特的概念、方法和理论。在教学中，要更加注重实验和统计的过程，结合历史实例，尽早培养学生的随机思维和统计概念。

3.1杂念

随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象个体观察的随机性与大量观察的统计规律性之间的关系。偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象反映了事物发展中的必然性。正是通过对这种偶然性的研究，随机思想找到了其背后的必然性，即统计规律性，并通过这种必然性认识和把握随机现象。

随机实验是随机思维中的一种重要方法。为了研究随机现象的统计规律，历史上进行过著名的随机实验，如布丰和皮尔逊的掷硬币实验，高尔顿设计的高尔顿板测试模型等。比如我们投很多硬币，面朝上的频率非常接近一半，也就是理论上面朝上的概率是12。我们称这种现象为个别结果不确定，但重复多次后，结果有规律。“随机”不是“偶然”的同义词，而是描述一种不同于确定性的顺序，而概率统计是描述随机性和统计规律性的数学。

理解随机思想的关键是要明白一个事件的检验频率与理论概率有偏差，偏差的存在是正常的。虽然重复测试的频率逐渐稳定到其理论概率，但不排除无论做多少次测试，测试概率仍然是理论概率的一个近似值，不能等于理论概率。比如，理论上“随机扔硬币，正面朝上落地”事件的概率是12。但是，100次测试，并不能保证50次对上，50次对下。只要学生真的做了测试，就一定会意识到这一点。其实100抛硬币测试50次都是对上，50次都是对下的概率只有C50？100?(12)100?≈ ?8%，远低于投币硬币面朝上一次的概率50%。在教学中要防止学生把概率直观地理解为“比”，从而对一个事件的概率有更深刻的理解。

随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性和模拟实验或随机抽样结果的随机性。学生只有认识到这一点，才能真正理解现实世界中广泛存在的随机性，并积极应用到生活中。抽样方法有很多种，但无论采用哪种方法进行抽样，都要坚持随机抽样的原则。这是避免人为影响，保证样本客观真实的基本要求。

3.2统计推断思想

统计学课程的核心目标是引导学生理解统计思维的特点和作用，以及统计思维与确定性思维的区别。例如，在利用样本估计总体的研究中，学生要认识到样本提供的信息在一定程度上反映了总体的相关特征，但通过对具体数据的分析，与总体存在一定的偏差。另一方面，如果抽样方法合理，比如著名数学家拉普拉斯研究了伦敦、彼得堡、柏林和法国的男孩和女孩的出生规律，得到的统计数据显示，在10年间，男孩的出生频率在2243左右波动；我国历次人口普查的总人口性别构成数据与拉普拉斯得到的数据非常接近。

科学家发现，不仅在人类社会生活中，在自然界中，生命的繁衍和进化都服从概率统计规律。早在1843年，捷克修道士孟德尔就通过研究豌豆的遗传规律，首次向世人揭示了大自然的奥秘。由于豌豆的两个基因是相互分离的，在进入下一代杂交细胞时互不干扰，最后在生物授粉过程中随机结合。因此，这一定律也被称为“分离现象”。后来，孟德尔经过艰苦的探索，发现两对不同性状的植物杂交时，不同对的遗传基因自由组合，机会均等。这就是孟德尔第二定律，又称“自由组合定律”。孟德尔发现的分离和自由组合规律，本质上是概率统计规律在遗传过程中的体现。

统计推理的过程不同于数学中的逻辑推理，它是一种具有概率性的推理方法，其原理是“小概率事件”。小概率事件原理认为，在一个实验中，小概率的事件几乎不会发生。比如假设检验问题的求解就是统计推断的体现。对于一个假设，给定一个小概率水平标准，如果对抽样数据进行整理计算，如果结果使得一个小概率事件发生(这与小概率事件不同)否则，则认为原假设是可以接受的。这种统计推断思想的实施，充分说明了数理统计的实用性。在教学中，可以利用药物疗效试验等例子，重点介绍统计推断思想。

4 .利用概率模型的历史实例激发学生的创新意识

随机数学很大一部分可以用概率模型来描述，比如有限等概率模型(经典概率模型)、伯努利概率模型、正态分布等。概率模型法的应用，是根据一个随机问题的具体特点，模拟并构建一个现实的原型或抽象模型，以反映问题的内在规律，然后选择相应的数学方法，对得到的数学模型进行解答。它展示了从实践到理论再回到实践的过程。在概率统计的教学中，要重视概率模型的理解和应用，淡化复杂的计算，让学生体验从多个例子中总结出具体概率模型的过程，体验这些例子的异同，培养学生识别模型的能力。美国普渡大学统计学教授大卫·s·摩尔(David S. Moore)曾说:“学习组合学并不能使我们增强对机会概念的理解。开发使用概率建模的能力并不比其他学科好。在大多数情况下，我们应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题。”利用概率模型解决问题是典型的归纳思维方式，离不开人们的观察、实验和合理推理。它是数学意识和思维方法的体现，有助于培养学生应用数学理论解决实际问题的能力和创新意识。

数学史在展示随机数学知识发展过程的同时，数学家在解决实际问题中数学方法的应用和创新思维也常常给后人带来启发。比如用概率模型求π就是典型的历史例子，一部计算圆周率的历史被誉为人类的“文明象征”。1872年，英国学者威廉·桑克斯已经把π的值计算到小数点后707位。时隔半个多世纪，数学家法格森对x的计算结果产生了怀疑，法格森的怀疑是基于以下奇特的想法:在π的取值上，没有对一两个数的偏好，也就是说，每个数的概率应该等于110。随着电子计算机的出现和应用，π的计算取得了迅速的进展。1973年，法国学者让·盖。本文对π的第一个百万位的每一位的出现频率做了一个有趣的统计，得出结论:虽然每一位的出现有一些起伏，但基本上是平分秋色的。看来弗格森的想法应该是正确的，而且在π的数值展开式中，有:p (0) = p (1) = p (2) = … = p (9) =？0.1?但有时，由于概率模型包含不确定的随机因素，比确定性模型更难分析。在这种情况下，可以考虑蒙特卡罗方法。蒙特卡洛法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌场——摩纳哥的蒙特卡洛。它的历史起源于法国科学家布丰在1777年提出的一种计算圆周率的方法，即著名的布丰针问题蒙特卡罗方法，属于实验数学的一个分支。其基本思想是先建立一个概率模型，使问题的解恰好是模型的参数或其他相关特征。然后通过模拟统计实验，即多次随机抽样实验，统计出一个事件的百分比。只要实验次数多，百分比就和一个事件的概率差不多。最后，利用建立的概率模型得到待估计的参数，即问题的解。

参考

1李文林。数学史导论[M]。北京:高等教育出版社，2002。

2张丹。统计与概率[M]。北京:高等教育出版社，2006。

3张远南。概率与方程的故事[M]。北京:中国少年儿童出版社，2005。