高中数学函数
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函数值域求解方法介绍
市区捷胜文昌中学徐天一
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和相应的规律决定的。研究函数的值域，不仅要注意对应规则的作用，还要特别注意定义值域对值域的限制。确定函数的值域是函数研究中不可缺少的一部分。如何求函数的值域是学生很头疼的问题。它涉及的知识面广，方法灵活，在高考中经常出现，占有一定的地位。如果方法运用得当，可以简化操作过程，避免繁琐，事半功倍。本文将函数值域的解法总结如下，以供参考。
1，直接观察法
对于一些简单的函数，它们的值域可以通过观察得到。
例1求函数y =的值域
解:x ≠0，0
显然，函数的取值范围是:(-∞，0)∩(0，+∞)。
例2求函数y = 3-的值域。
解决方案:≥0-≤0 3- ≤3
因此，函数的取值范围是:[-∞，3]
2.匹配方法
匹配法是求二次函数值域的最基本方法之一。
例3:求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。
解答:将函数公式为:y=(x-1) +4，x [-1，2]。从二次函数的性质可知:
当x = 1时，y = 4。
当x =-1，当= 8。
因此，函数的范围是:[4，8]
3.判别方法
例4求函数y =的值域。
解法:将原函数转化为一元二次方程(y-1) +(y-1 )x= 0。
(1)当y≠1时，x r，△ = (-1)-4 (y-1) ≥ 0。
解决方案:≤y≤
(2)当y=1，x = 0，1 [，]时。
因此，函数的范围是[，]
例5求函数y=x+的值域。
解:两边平方:2 -2(y+1)x+y =0 (1)。
x R，△=4(y+1) -8y≥0
解:1- ≤y≤1+
但此时函数的定义域从x(2-x)≥0，得到0≤x≤2。
从△≥0只保证关于X: 2 -2(y+1)x+y =0的方程在实数集R内有实根，但不能保证其实根在区间[0，2]内，即不能保证方程(1)有实根，用△≥0计算的值域可能大于y的实际值域，原函数的值域可通过以下方法进一步确定。
0≤x≤2，y=x+ ≥0，
=0，y=1+代入方程(1)，解为:= [0，2]，即当=，原函数的取值范围为:[0，1+]。
注:用判别式法判断函数的值域时，如果原函数的定义域不是实数集，则应合成该函数的定义域，并剔除扩大部分。
4.反函数方法
当难以直接求函数的值域时，可以通过求原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6求函数y=的值域。
解法:由原函数公式:x =
它的反函数是:y =
它的定义域是:x ≠
因此，函数的范围是:(-∞，)
5.函数有界方法
当难以直接求出函数的值域时，可以利用所学函数的有界性来确定函数的值域。
例7求函数y =的值域。
解:来自原函数公式:=
>0, >0
解:-1 < y < 1。
所以函数的取值范围是(-1，1)。
例8求函数y =的值域。
解:可以从原函数中得到:ysinx-cosx=3y。
可以改成:sinx(x+β)=3y。
即sinx(x+β)= 1
∵x∈r,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤ ≤1。
解是:-≤y≤所以函数的值域是[-，]。
6.函数单调性方法
例9求函数y = (2≤x≤10)的值域。
解法:设y =，=，则y在[2，10]中是增函数。
所以y = y+是[2，10]上的增函数。
当x = 2，y =+=，
当x = 10时，=+=33。
所以函数的取值范围是:[，33]。
例10求函数y=-的值域。
解:原函数可化简为:y=
设y =，=，显然，y是[1，+∞]上的无界增函数，所以y = y+也是[1，+∞)上的无界增函数。所以当x = 1时，y = y+有最小值，原函数有最大值=。
显然y > 0，所以原函数的取值范围是(0，】。
7.替代方法
一个函数通过简单的代换变成一个简单的函数，其题型以含有根式的解析函数或三角函数模型的公式为特征。换元法是最重要的数学方法之一，在求函数的值域中也起着重要的作用。
例11求函数y = x+的值域。
解法:设x-1=t，且(t≥0)则x= +1。
∵y= +t+1=+，且t≥0，这是从二次函数的性质得知的。
当t=0时，y = 1，当t →0时，y →+∞。
所以函数的取值范围是[1，+∞)。
例12求函数y =x+2+的值域
解:因为1- ≥0，所以≤1。
所以可以作出x+1=cosβ，β∈[ 0，∏]。
∴y=cosβ+1+ = sinβ+cosβ+1 = sin(β+∏/4)+1
∵0≤β≤∏,0 ≤β+∏/4≤5∏/4
∴ - ≤sin(β+∏/4)≤1
∴ 0 ≤ sin(β+∏/4)+1≤1+.
因此，函数的范围是[0，1+]。
例13求函数y=的值域
解法:原函数可以转化为:y=-
设x=tgβ，则= sin2bβ，= cos2bβ。
∴y=- sin2β cos2β= - sin4β
当β= k∏/2-∏/8时，=。
当β= k∏/2+∏/8时，y =-
这个时候tgβ就有意义了。
所以函数的范围是[-，]。
例14求函数y=(sinx+1)(cosx+1)和x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解:y =(sinx+1)(cosx+1)= sinx cosx+sinx+cosx+1。
设sinx+cosx=t，则sinxcosx= (-1)
y = ( -1)+t+1=
由t=sinx+cosx= sin(x+∏/4)和x∈[- ∏/12，∏/2]
可用:≤t≤
当t=，=+时∴，当t=，y=+时
因此，函数的范围是[+，+]。
例15求函数y=x+4+的值域
解:从5-x≥0，我们可以得到∣x∣≤
因此，x = cosβ，β∈[0，∏]
y= cosβ+4+ sinβ= sin(β+∏/4)+ 4
∵ 0 ≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4，=4+时，当β = ∏, y =4-。
因此，函数的范围是[4-，4+]。
8字形组合法
题型是分辨函数，有明显的几何意义，比如两点的距离公式，一条直线的斜率。这种问题如果把数和形结合起来，往往会简单明了，赏心悦目。
例16求函数y=+的值域。
解:原函数可以简化:y=∣x-2∣+∣x+8∣.
上面的公式可以看作是数轴上点P(x)到固定点A(2)和B(- 8)的距离之和。
从上图可以看出，当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点p在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
因此，函数的范围是:[10，+∞)
例17求函数y=+的值域
解法:原函数可以转化为:y=+
上面的公式可以看作是点P(x，0)到X轴上两个固定点A(3，2)和B(-2，-1)的距离之和。
从图中可以看出，当p点是线段与x轴的交点时，y = ∣ AB = =，
所以函数的值域是[，+∞)。
例18求函数y=-的值域
解法:将函数转化为:y=-
上面的公式可以看作是不动点A (3，2)到点P (x，0)的距离与不动点B (-2，1)到点P (x，0)的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣.
从图中可以看出:(1)当P点在X轴上且不是直线AB与X轴的交点时，如P点？，就构成了△ABP？根据三角形两边之差小于第三边的事实，
有一个∣∣AP？∣-∣BP？∣∣<∣AB∣= =
即:-< y
(2)当p点恰好是直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣=.
综上所述，函数的取值范围是:(-，-)。注:从17和18的例子可以知道，计算两个距离之和时，函数要变形，使A、B两点在X轴的两侧，而计算两个距离之差时，A、B两点要在X轴的同一侧。
例如:例17中A点和B点的坐标分别为(3，2)和(-2，-1)，在X轴的同一侧；
例18的A点和B点的坐标分别为(3，2)和(2，-1)，在X轴的同一侧。
9.不等式方法
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3 (a，b，c∈)，可以求出函数的最大值。题型特征的解析式是要求乘积在求和时为常值，解析式是要求乘积在求和时为常值，但有时我们需要使用两边分、加、平方等技巧。
例19求函数y =(sinx+1/sinx)+(cosx+1/cosx)的值域。
解决方案:将原始函数转换为:
y=( + )+1/ +1/
= 1+ +
= 3+ +
≥3 + 2
=5
当且仅当tgx=ctgx，即X = k∈∏/4(k∈z)时，等号成立。
所以原函数的取值范围是:[5，+∞)。
例20求函数y=2sinxsin2x的值域
解:y=2sinxsinxcosx
=4 cosx
=16
=8 (2-2 )
≤8( + +2- )
=8[( + +2- )/3]
=
如果且当=2-2，即当=时，等号成立。
从≤,我们可以得到:-≤y≤
所以原函数的范围是:[-，]。
10，各种方法的综合应用
例21求函数y=的值域
解法:设t= (t≥0)，则x+3= +1。
(1)当t > 0，y= = ≤时，且当且仅当t=1，即x=-1时，取等号。
所以0 < y ≤
(2)当t=0时，y=0。综上所述，函数的取值范围是:[0，]。
注意:先替换元素，再用不等式方法。
例22求函数y=的值域。
解:y=+=+
设x=tg，那么=，= sin，
∴y= + sin =- + sin +1
=- +
当sin =，=。当sin =-1时，y =-2。
此时tg存在，那么函数的取值范围是:[-2，]。
注意:这个问题先用替换法。然后用搭配法，再用罪的有界性。
总之，在求一个函数的值域时，首先要仔细观察它的题型特点，然后选择合适的方法。一般以直接法、函数单调性法、基本不等式法为主，再考虑其他特殊方法。