对数问题？
如果b n = x，那么n=log(b)(x)。其中b称为“底数”，x称为“真数”，n称为“x以b为底数的对数”。
log(b)(x)函数中x的定义域是x >；0，零和负数没有对数；b的定义域是b & gt0和b≠1
对数的历史:
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁发起了“对数”的高级运算呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔男爵(纳皮尔，1550-1617)。在纳皮尔时代，哥白尼的“太阳中心论”刚刚流行，导致天文学成为当时的热门学科。然而，由于当时常数数学的局限性，天文学家不得不花费大量的精力去计算那些复杂的“天文数字”，从而浪费了数年甚至一生的宝贵时间。纳皮尔当时也是一名天文爱好者。为了简化计算，他潜心研究大数的计算技术多年，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔发明的对数与现代数学中的对数理论在形式上并不完全相同。在纳皮尔的时代，还没有形成“指数”的概念，所以纳皮尔并没有像现在的代数教科书那样通过指数来推导对数，而是通过研究直线运动来获得对数的概念。那么，当时纳皮尔发明的对数运算呢？当时计算多位数之间的乘积还是一个非常复杂的运算，于是纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们看看下面的例子:
0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数的关系极其清晰:第一行代表2的指数，第二行代表2的对应幂。如果我们想计算第二行中两个数的乘积，我们可以将第一行中相应的数相加。比如计算64×256的值，可以先查询第一行对应的数字:64对应6，256对应8；然后把第一行对应的数字加起来:6+8 = 14；第一行14对应第二行16384，所以有:64× 256 = 16384。纳皮尔的计算方法实际上是现代数学中“对数运算”的思想。回想一下，我们在中学学习“用对数简化计算”的时候，不就是采用了这个思路吗:计算两个复数的乘积，先查常用对数表，找出这两个复数的常用对数，然后将这两个常用对数相加，再通过常用对数的对立表，找出相加和的对立值，就是原来两个复数的乘积。这种“变乘除为加减”来简化计算的思路难道不是对数运算的一个明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的代表作《对数奇妙定律的解释》，向全世界公布了他的发明，并阐述了它的特点。因此，纳皮尔是当之无愧的“对数创造者”，在数学史上无愧于这一荣誉。大导师恩格斯在《自然辩证法》一书中，曾将笛卡尔坐标、纳皮尔对数、牛顿微积分、莱布尼茨微积分并称为17世纪三大数学发明。法国著名数学家、天文学家拉普拉斯(1749-1827)曾说过，对数可以缩短计算时间，“实际上相当于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
对数的性质和求导
用0表示幂，用log(a)(b)表示以A为底的B的对数。
*表示乘法符号，/表示除法符号。
定义公式:
如果a n = b(a >；0和一个≠1)
那么n=log(a)(b)
基本性质:
1.a^(log(a)(b))=b
2 . log(a)(MN)= log(a)(M)+log(a)(N)；
3 . log(a)(M/N)= log(a)(M)-log(a)(N)；
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推断
1.这个不用推，可以直接从定义中得到(把定义中的[n=log(a)(b)]带入a n = b)。
2.
MN=M*N
由1的基本性质(替换m和n)
a^[log(a)(mn)]= a^[log(a)(m)]* a^[log(a)(n)]
根据指数的性质
a^[log(a)(mn)]= a^{[log(a)(m)]+[log(a)(n)]]
而且因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.类似于2。
MN=M/N
由1的基本性质(替换m和n)
a^[log(a)(m/n)]= a^[log(a)(m)]/a^[log(a)(n)]
根据指数的性质
a^[log(a)(m/n)]= a^{[log(a)(m)]-[log(a)(n)]]
而且因为指数函数是单调函数，所以
对数(a)(M/N) =对数(a)(M) -对数(a)(N)
4.类似于2。
M^n=M^n
从基本属性1(替换m)
a^[log(a)(m^n)]= {a^[log(a)(m)]}^n
根据指数的性质
a^[log(a)(m^n)]= a^{[log(a)(m)]*n}
而且因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他属性:
属性1:换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两个公式可以得出。
n = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)]= b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}
并且因为n = b [log (b) (n)]
因此
b^[log(b)(n)]= b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}
因此
log(b)(n)=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]
所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
自然二:(不知道叫什么名字)
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
通过公式[lnx是log (e) (x)，e称为自然对数的底数]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
它可以从基本属性4中获得
log(a^n)(b^m)=[n * ln(a)]/[m * ln(b)]=(m/n)* {[ln(a)]/[ln(b)]
然后根据换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
- (
公式3:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
log(a)(b)= log(b)(b)/log(b)(a)-以b为底取对数，log(b)(b)=1。
=1/log(b)(a)
也可变形:
log(a)(b)*log(b)(a)=1