如何处理数学证明问题
分析方法和综合方法
在数学证明中，如果推理的方向是从验证到已知，或者从未知到已知，这种思维方法就叫分析。反之，如果推理的方向是从已知到验证，或者从已知到未知，这种思维方法就叫综合法。
示例1
已知A和B是不相等的正数。证明:
a3+B3 & gt；a2b+ab2
证明方法一
分析
想证明
a3+B3 & gt；
a2b+ab2
只是想证明
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
∵a & gt；b，b & gt0，a+b & gt；0,
∴只要证书a2-a b+ B2 & gt；ab，a2-2ab+B2 & gt；0,
即(a-b)2 >；0，而这显然是真的。
所以a3+B3 & gt；
a2b+ab2 .
证候方法2
综合法
∵a≠b，
∴a-b≠0,(a-b)2>；0,
也就是
a2-2ab+B2 & gt；0，a2-a b+ B2 & gt；ab .
和
a & gt0，b & gt0，a+b & gt；0,
∴
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)，
因此
a3+B3 & gt；
a2b+ab2
二
直接证据法和间接证据法
在数学证明中，从正面证明命题真值的方法称为直接证明。任何通过演绎证明命题为真的东西都是直接证明。是中学数学中常用的证明方法。证明题目真实性的方法不是直接证明题目的真实性，而是通过证明题目的否定命题不真实或者证明其等价命题成立，称为间接证明。间接证明方法主要有归谬法和同归法。
1.
归谬法
通过证明题目的否定题目是不真实的，来肯定题目的真实性的方法叫归谬法。
有归谬法和穷尽法两种。
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题的结论不成立(即结论的否定成立)；
(2)从否定结论出发，逐步推理，得出与公理或前述定理、定义或条件相矛盾，或与临时假设相矛盾的结论(即结论不能被否定)；
(3)根据排中律，原命题最终得到证实。
在应用归谬法时，如果命题结论的否定只有一种可能的情况，那么只要这种情况被推翻，结论就可以被肯定。这种归谬法叫做归谬法(见例2)。如果命题结论的否定方面的情况不止一种，那么否定方面所有可能的情况都必须一一反驳，才能确定结论成立。这种归谬法叫做穷举法(见例3)。
示例2
验证:
cos10
这是一个无理数。
证明假设
cos10
记住，这是一个有理数。
cos10
=
(p和q是质数)，
然后cos30
=4cos310
-3cos10
=4(
)3-3(
)
是一个有理数，
和cos30
=
是一个无理数，
这与已知的假设相矛盾，所以cos10。
这是一个无理数。
示例3
如图，在△ABC中，已知BE和CF分别是B和C的平分线，BE=CF，验证:AB=AC。
证明:若AB≠AC，则有AB >；AC或AB
AC，那么∠ACB & gt；∠ABC，
∴∠bcf>；∠CBE，BF & gtCE，
∵
BF=EG，
∴
EG & gtEC，∠ECG & gt；∠EGC .
和
∠FCG=∠FGC，
∴∠fce<；FCE=∠FBE .
规则
∠ACB & lt；∠ABC(与假设相矛盾)，
也就是
AB & gtAC，那不可能
(2)
同样的道理也可以证明，AB
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