“1+1”是什么意思?

1742年6月7日,当时还是中学教师的哥德巴赫给生活在俄罗斯彼得堡的数学家欧拉写了一封信,问道:“任何不小于6的偶数都是两个奇素数之和吗?”因为哥德巴赫喜欢玩除数的游戏。20天后,欧拉回信写道:“任何大于6的偶数都是两个奇素数之和。这个猜想,虽然我还不能证明,但我肯定认为它是一个完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想,也叫哥德巴赫-欧拉猜想,至今世界还没有完全解决。数学家把这个问题简称为(1,1)或“1+1”。这个命题被简要地描述为:

(a)每一个≥6的偶数都可以表示为两个奇素数之和;

(b)每一个≥9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

显然,命题(b)是(a)的推论。因为任何一个奇数,比如减去一个奇素数,当然是偶数。如果此时命题(a)可以被证明,当然命题(b)也会被证明。但是,这两个问题是不可逆的。命题(b)20世纪30年代,前苏联科学家伊维诺格拉多夫创造了一系列估计指标和重要方法,使他能够在1937中间接证明命题(b)。

在1930中,倪慧·勒曼证明了每一个自然数都可以表示为不超过k个素数的和,其中k是一个固定的自然数。一开始设定K = 2+1010,很快就降为K = 69。利用密度法得到的最好结果是k = 18,即每一个自然数都可以表示为≤18个素数之和。这里提到的每一个自然数都不是足够大的自然数。这是密度法的独特优势,其他方法(圈法、筛法)只能对足够大的自然数下结论。

1937年,前苏联数学家维纳·格拉德夫用圆法证明了每一个足够大的奇素数都等于三个素数之和。后来证明这里的“足够大”可以换成“> > eC16 038”。这个数字超过400万,是一个非常庞大的数字。现在这个常数已经大大减少了,但仍然是一个相当大的数字。

在长达240多年的漫长岁月中,有人对哥德巴赫猜想做了大量的考证工作。有人查过偶数x≤5×188,即X在5亿以内,哥德巴赫猜想是正确的。

这期间甚至有人想到了一些方法,比如对折法。他们把自然数和一把长梳子上的齿相比较,先把代表复数的齿全部掰掉,剩下的当然是质数。然后把同样的梳子倒过来。如果梳子上的原始齿数是偶数X,1将面对X-1,3将面对X-3...P会面对X-P,(1 ≤ P ≤ X-1)。因为当x较大时,无法证明是否存在齿对齿的情况,所以问题没有解决。

这种方法的缺点是代表复数的所有齿先被折断。因为素数的存在是弱附着在更小的素数及其倍数的合数上的,而且这种微弱的痕迹也被断掉了。而这个问题是不能用概率来解决的,因为素数不是一个正常的分析,而是一个确定的问题。于是他们把x设为某个值,然后每两颗牙错位。这样一来,一个有限的问题想要试图解决一个无限的问题当然是极其困难的。尽管如此,有些人仍在努力攀登。所以后来他们把大于某个大数的偶数(比如K0 = E49c)叫做大偶数,然后把任意一个大偶数n (n > K0)写成自然数N1和N2之和,即n = N1+N2。N1和N2的素数分别不超过S和T。所以缩写为(s,t)或写为加引号的加法:“s+t”。这时N1和N2可以称为几乎(近)质数,然后S和t的值逐渐减小。如果S和T都计算到1,那么将证明当5× 108 < n ≤ E49c时,(1,1)成立。这样就解决了(1,1)问题。但是,至今没有最终的解决方案。当前世界获得的排名结果如下。

(s,t)年龄结果冠军国家(9,9)1920布劳恩挪威(7,7)1924 Leitmahurd (6,6)1932伊士曼英(5,7),(4,9) 1922。5)1938布赫维茨,前苏联(4,4) 1940布赫维茨(1,C很大)1948雷尼洪(3,4) 1956王元忠(3,3)。5)1962潘承东[3]巴尔巴恩[4]前苏联(1,4) 1962王元(1,4) 1963潘承东[3]巴尔巴恩(1,3一般猜测:

g(k)= 2k+(x)k」-2(1)

其中[x]代表x的整数部分。

在众多数学家的努力下,(1)除K = 4外都得到了证明,其中G (5) = 37由中国科学家陈景润在1964中证明。

对于k = 4,已经证明:

19≤g(4)≤21,

而当n < 10310或n > 101409时,n可以表示为19的四次幂之和。这接近预期目标G (4) = 19。

还发现当自然数足够大时,可以表示为G(k)次幂之和,其中G(k)≤g(k)。其实g(k)比G(k)小很多(k大的时候)。目前已知的只有G (2) = 4和G (4) = 19。估计G(k)是一个非常困难的问题。