中学数学手册

(1)抛物线:y = ax ^ 2+bx+c(a≠0)

即y等于a乘以x加b的平方乘以x加c。

放置在平面直角坐标系中

a & gt为0时，开口向上。

a & lt为0时，开口向下

当c = 0时，抛物线通过原点

当b = 0时，抛物线的对称轴为Y轴。

(当然这个函数在a=0，b≠0时是线性函数)。

而顶点y = a (x+h) * 2+k (h，k) = (-b/2a，(4ac-b 2)/4a)。

即y等于a乘以(x+h)+K的平方。

-h是顶点坐标的x。

k是顶点坐标的y。

一般用来求最大值和最小值。

抛物线标准方程:y ^ 2 = 2px

意思是抛物线的焦点在X的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0)，准线方程为x=-p/2。

由于抛物线的焦点可以在任意半轴上，* *有标准方程y ^ 2 = 2px y ^ 2 =-2px x ^ 2 = 2py x ^ 2 =-2py。

(2)圆:

球体体积= 4/3 π (r 3)

面积= π (r 2)

周长=2πr =πd

一个圆的标准方程(X-A) 2+(Y-B) 2 = R 2注:(A，B)为圆心坐标。

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:D2+E2-4f >；0

(一)椭圆周长计算公式

椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理:椭圆的周长等于以短半轴长度为半径的椭圆的周长(2πb)加上椭圆的长半轴长度(a)与短半轴长度(b)之差的四倍。

(2)椭圆面积的计算公式

椭圆面积公式:S=πab

椭圆面积定理:椭圆的面积等于π乘以椭圆的长半轴长(a)和短半轴长(b)的乘积。

虽然上述椭圆周长和面积公式中没有椭圆πT，但这两个公式都是由椭圆πT导出的..恒为体，方为用。

椭球体长半径*短半径*椭圆π高的体积计算公式

(3)三角函数:

和差角公式

sin(A+B)= Sina cosb+cosa sinb；sin(A-B)= Sina cosb-sinBcosA；

cos(A+B)= cosa cosb-Sina sinb；cos(A-B)= cosa cosb+Sina sinb；

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB)；tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB)；

cot(A+B)=(cotA cotB-1)/(cot B+cotA)；cot(A-B)=(cotA cotB+1)/(cot b-cotA)；

双角度公式

tan2a=2tana/(1-tan^2a)；cot2a=(cot^2a-1)/2cota；

cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a；

sin2A = 2 Sina cosa = 2/(tanA+cotA)；

另外:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π* 2/n)+sin(α+2π* 3/n)+...+sin[α+2π*(n-1)/n]= 0；

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π* 2/n)+cos(α+2π* 3/n)+...+cos [α+2π * (n-1)/n] = 0且

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2；

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tan B- tan(A+B)= 0；

四倍角度公式:

sin4a=-4*(cosa*sina*(2*sina^2-1))

cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)

tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)

五倍角公式:

sin5a=16sina^5-20sina^3+5sina

cos5a=16cosa^5-20cosa^3+5cosa

tan5a=tana*(5-10*tana^2+tana^4)/(1-10*tana^2+5*tana^4)

六角公式:

sin6a=2*(cosa*sina*(2*sina+1)*(2*sina-1)*(-3+4*sina^2))

cos6a=((-1+2*cosa^2)*(16*cosa^4-16*cosa^2+1))

tan6a=(-6*tana+20*tana^3-6*tana^5)/(-1+15*tana^2-15*tana^4+tana^6)

七倍角公式:

sin7a=-(sina*(56*sina^2-112*sina^4-7+64*sina^6))

cos7a=(cosa*(56*cosa^2-112*cosa^4+64*cosa^6-7))

tan7a=tana*(-7+35*tana^2-21*tana^4+tana^6)/(-1+21*tana^2-35*tana^4+7*tana^6)

八角角公式:

sin8a=-8*(cosa*sina*(2*sina^2-1)*(-8*sina^2+8*sina^4+1))

cos8a=1+(160*cosa^4-256*cosa^6+128*cosa^8-32*cosa^2)

tan8a=-8*tana*(-1+7*tana^2-7*tana^4+tana^6)/(1-28*tana^2+70*tana^4-28*tana^6+tana^8)

九倍角公式:

sin9a=(sina*(-3+4*sina^2)*(64*sina^6-96*sina^4+36*sina^2-3))

cos9a=(cosa*(-3+4*cosa^2)*(64*cosa^6-96*cosa^4+36*cosa^2-3))

tan9a=tana*(9-84*tana^2+126*tana^4-36*tana^6+tana^8)/(1-36*tana^2+126*tana^4-84*tana^6+9*tana^8)

十倍角公式:

sin10a=2*(cosa*sina*(4*sina^2+2*sina-1)*(4*sina^2-2*sina-1)*(-20*sina^2+5+16*sina^4))

cos10a=((-1+2*cosa^2)*(256*cosa^8-512*cosa^6+304*cosa^4-48*cosa^2+1))

tan10a=-2*tana*(5-60*tana^2+126*tana^4-60*tana^6+5*tana^8)/(-1+45*tana^2-210*tana^4+210*tana^6-45*tana^8+tana^10)

？通用公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差积

2 Sina cosb = sin(A+B)+sin(A-B)；2 cosa sinb = sin(A+B)-sin(A-B)；

2 cosa cosb = cos(A+B)-cos(A-B)；-2 sinas inb = cos(A+B)-cos(A-B)；

sinA+sinB = 2 sin((A+B)/2)cos((A-B)/2；cosA+cosB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)；

tanA+tanB = sin(A+B)/cosa cosb；tanA-tanB = sin(A-B)/cosa cosb；

cotA+cotB = sin(A+B)/Sina sinb；-cotA+cotB = sin(A+B)/Sina sinb；

缩减功率公式

罪恶？(A)=(1-cos(2A))/2 = versin(2A)/2；

因为？(α)=(1+cos(2A))/2 = covers(2A)/2；

谭？(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A))；

某些级数的前n项之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n = n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)= n(n+1)

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2

1 * 2+2 * 3+3 * 4+4 * 5+5 * 6+6 * 7+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中r代表三角形外接圆的半径。

余弦定理B 2 = A 2+C 2-2 AC COSB注:角B是A边和C边之间的夹角

乘法和因式分解A 2-B 2 = (A+B) (A-B)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

三角不等式-|a|≤a≤|a|

| a |≤b & lt；= & gt-b≤a≤b

| a |≤b & lt；= & gt-b≤a≤b

| a |-| b |≤| a+b |≤| a |+| b | | a |≤b & lt；= & gt-b≤a≤b

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1+z2+...+zn|≤|z1|+|z2|+...+|锌|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1|+|z2|+...+|锌|

|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1 z2...zn|≤|z1|+|z2|+...+|锌|

一元二次方程x 1 =-b+ √( B2-4ac)/2 ax2 =-b-√(B2-4ac)/2a的解。

根与系数的关系(维耶塔定理)x 1+x2 =-b/a；x1*x2=c/a

判别式△ = b 2-4ac = 0，则方程有两个相等的实根。

△& gt；0那么这个方程有两个不相等的实根。

△& lt；0，则方程有两个* * *轭复根。

公式分类公式表达式

一个圆的标准方程(X-A) 2+(Y-B) 2 = R 2注:(A，B)为圆心坐标。

圆的一般方程x 2+y 2+dx+ey+f = 0注:△ = d 2+e 2-4f > 0

抛物线标准方程y ^ 2 = 2px y ^ 2 =-2px x ^ 2 = 2py x ^ 2 =-2py。

直棱柱的侧面积S=c*h斜棱柱的侧面积S = c’* h。

正棱锥的侧面积S=1/2c*h '正棱柱的侧面积S=1/2(c+c')h '

圆台的侧面面积S = 1/2(c+c’)l = pi(R+R)l球的表面积S=4π*r2。

圆柱体的侧面积S=c*h=2π*h圆锥体的侧面积s = 1/2 * c * l = π * r * l。

弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >;0扇区面积公式s=1/2*l*r

圆锥体积公式V=1/3*S*H圆锥体积公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L注:其中S '为直截面面积，l为侧边长度。

气缸容积公式V=s*h气缸V=π*r2h

图形周长面积体积公式

长方形的周长=(长+宽)×2

正方形的周长=边长×4

矩形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

三角形的面积

给定三角形的底是H，那么S = Ah/2。

给定一个三角形的三条边A、B、C和半周长P，那么S = √ [P (P-A) (P-B) (P-C)]。

(海伦秦九韶公式)(p= (a+b+c)/2)

和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4

给定三角形的两条边A和B之间的角度C，则S = ABS Inc/2。

设三角形的三条边分别为A、B、C，内切圆的半径为r。

那么三角形面积=(a+b+c)r/2。

设三角形的三条边分别为A、B、C，外接圆半径为r。

三角形面积=abc/4r。

给定三角形的三条边是A、B、C，那么S = √{ 1/4[C 2A 2-((C2+a2-B2)/2)2]}(《三对角求积》南宋秦注:秦公式等价于海伦公式。

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1|

| c d 1|是一个三阶行列式，这个三角形ABC在平面直角坐标系A(a，B)，B(c，d)，C(e，f)，其中| e f 1 |。

最好从右上角按逆时针顺序选取ABC选区，因为这样得到的结果一般都是正面的。如果不遵循这个规律，可能会得到一个负值，不过没关系，取绝对值就行，不会影响三角形面积的大小！

秦三角中线面积公式:

s =√[(Ma+m b+Mc)*(m b+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+m b-Mc)]/3

其中Ma、MB和MC是三角形中线的长度。

平行四边形的面积=底×高

梯形面积=(上底+下底)×高度÷2

直径=2 r

圆周=πd= 2πr

圆的面积= πr^2

长方体的表面积=

(长×宽+长×高+宽×高)×2

长方体体积=长×宽×高

立方体的表面积=边长×边长×6

立方体的体积=边长×边长×边长

圆柱体的侧面积=底圆周长×高度。

圆柱体表面积=上下底面面积+侧面面积。

圆柱体的体积=底部面积×高度

圆锥体的体积=底部面积×高度÷3

气缸容积=底部面积×高度

平面图

名称符号周界c和区域s

正方形a边长度c = 4as = a2

矩形A边和B边的长度C = 2 (A+B) S = AB

三角形a，b，c-有三条边，其中s = (a+b+c)/2s = ah/2。

h-a边缘的高度= ab/2× sinc。

s周长的一半= [s (s-a) (s-b) (s-c)] 1/2。

a，b，c-内角= a 2sinbsinc/(2sina)

几何公理:

1在两点上有且只有一条直线。

两点之间的线段最短。

3同角或等角的余角相等。

同角或等角的余角相等。

有且只有一条直线垂直于已知直线。

在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。

7平行公理通过直线外的一点，有且只有一条直线平行于这条直线。

如果两条直线都平行于第三条直线，则两条直线也相互平行。

同角相等，两条直线平行。

10内部位错角相等，两条直线平行。

11互补且两条直线平行。

12两条直线平行，同角相等。

13两条直线平行，内部位错角相等。

14两条直线平行且互补。

定理15三角形两边之和大于第三边。

16推断三角形两边之差小于第三边。

17三角形的内角之和等于180。

18推论1直角三角形的两个锐角是互补的。

19推论2三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和。

推论3三角形的外角大于任何不与之相邻的内角。

21个全等三角形对应的边和角相等。

棱角公理(sas)有两个角度相等的三角形。

23角公理(asa)具有两个三角形的同余，这两个三角形具有两个角并且它们的边彼此对应。

24推论(aas)有两个角，其中一个角的对边对应于两个三角形的全等。

25边公理(sss)有两个三边相等的三角形。

斜边和直角边公理(hl)两个有斜边和直角边的直角三角形全等。

定理1角平分线上的点到角两边的距离相等。

定理2是一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

角29的平分线是到该角两边距离相等的所有点的集合。

等腰三角形的性质定理30等腰三角形的两个底角相等(即等边和等角)。

31推论1等腰三角形顶点的平分线平分底边并垂直于底边。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高度相互重合。

推论3等边三角形的所有角都相等，每个角等于60°。

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个相等的角，那么这两个角的对边也相等(等角等边)。

推论1三个角相等的三角形是等边三角形。

推论2一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，它所面对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

定理39线段的中垂线上的点与该线段的两个端点之间的距离相等。

逆定理和一条线段的两个端点等距的点在这条线段的中垂线上。

41线段的垂直平分线可以看作是距离线段两端距离相等的所有点的集合。

42定理1关于一条线对称的两个图共形。

定理2:两个图形关于一条直线对称，那么对称轴就是中垂线定理3:两个图形关于一条直线对称。如果它们对应的线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

45逆定理如果连接两个图的对应点的直线被同一条直线垂直平分，那么这两个图关于这条直线对称。

46勾股定理直角三角形的两个直角A和B的平方和等于斜边C的平方，即A 2+B 2 = C 2。

47勾股定理逆定理如果一个三角形A、B、C的三条边长相关A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2，那么这个三角形是直角三角形。

定理48的四边形内角之和等于360。

四边形的外角之和等于360°。

50个多边形的内角和定理是N个多边形的内角和等于(n-2) × 180。

51推断任意多边形的外角之和等于360。

52平行四边形性质定理1平行四边形对角线相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

推断夹在两条平行线之间的平行线段相等。

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线等分。

56平行四边形判定定理1两组对角线相等的平行四边形是平行四边形。

57平行四边形判定定理2两组对边相等的平行四边形是平行四边形。

58平行四边形判定定理3对角线被二等分的四边形是平行四边形。

59平行四边形判定定理4一组对边相等的平行四边形是平行四边形。

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角。

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个直角的四边形是矩形。

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四个边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角线。

66菱形面积=对角线积的一半，即s=(a×b)÷2。

67菱形判定定理1有四条等边的四边形是菱形。

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等并垂直平分，每条对角线平分一组对角线。

定理71 1关于两个中心对称图是全等的。

定理2关于两个具有中心对称的图，对称点的连线都经过对称中心，并被对称中心等分。

73逆定理如果连接两个图的对应点的直线通过某一点，并被该点等分，那么这两个图关于该点对称。

74等腰梯形性质定理同一个底边上的等腰梯形的两个角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

76等腰梯形判定定理同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。

对角线相等的梯形是等腰梯形。

78平行线等线段定理如果一组平行线在一条直线上有等线段，则其他直线上的线段也有等线段。

79推论1通过梯形一个腰的中点并与底边平行的直线会平分另一个腰。

推论2过三角形一边中点与另一边平行的直线会平分第三边。

81三角形的中线定理三角形的中线平行于第三条边并等于它的一半。

梯形中线定理平行于两个底且等于两个底之和的一半L = (a+b) ÷ 2s = l× h。

83 (1)基本性质如果a:b=c:d，则ad=bc如果ad=bc，则A: B = C: D。

84 (2)组合性质如果A/B = C/D，那么(A B)/B = (C D)/D。

85 (3)等距性质如果A/B = C/D = … = M/N (B+D+…+N ≠ 0)，则(A+C+…+M)/(B+D+…+N) = A/B。

86平行线分线段与比例定理三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。

推断平行于三角形一边的直线切割另外两边(或两边的延长线)，得到的对应线段是成比例的。

定理88如果切割三角形的两条边(或两条边的延长线)得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边。

平行于三角形一边并与其他两边相交的直线，割下的三角形的三条边与原三角形的三条边成正比。

定理90平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。

91相似三角形的判定定理1两个角相等两个三角形相似(asa)

两个直角三角形除以斜边上的高度，类似于原来的三角形。

判定定理2:两边成比例且夹角相等，两个三角形相似(sas)。

判定定理3三条边成比例，两个三角形相似(sss)

定理95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边成正比，那么这两个直角三角形相似。

96性质定理1相似三角形对应高比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

97性质定理2相似三角形周长之比等于相似比。

98性质定理3相似三角形面积之比等于相似比的平方。

任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，任意锐角的余弦值等。

其余角的正弦值

100任意锐角的正切等于其余角的余切，任意锐角的余切等于其余角的正切。

101圆是一组点到固定点的距离等于固定长度的点。

102圆的内部可以看作是中心距小于半径的点的集合。

103圆的外圆可以看作是中心距大于半径的点的集合。

104同圆或等圆半径相同。

105到定点的距离等于一个定长点的轨迹，它是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。

106和已知线段的两个端点间距离相等的点的轨迹为该线段的中垂线。

从107到一个已知角两边距离相等的点的轨迹就是这个角的平分线。

从108到两条平行线等距点的轨迹是与这两条平行线平行且等距的直线。

定理109不在同一直线上的三点确定圆。

110垂直直径定理将垂直于其直径的弦一分为二，并将与弦相对的两条弧一分为二。

111推论1 ①平分弦的直径(不是直径)垂直于弦，平分弦对面的两条圆弧。

(2)弦的中垂线穿过圆心，平分与弦相对的两条弧。

③平分与弦相对的一段弧的直径，垂直平分弦，平分与弦相对的另一段弧。

112推论2一个圆的两条平行弦所夹的圆弧相等。

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

定理114在同一个圆或同一个圆内，等圆心角有等弧、等弦、等弦心距。

115推断在同一个圆或等圆内，若两个圆心角、两个圆弧、两个弦或两个弦的弦心距中的一组量相等，则对应的另一组量也相等。

定理116一个圆弧的角度等于它的圆心角的一半。

117推论1同一圆弧或相等圆弧的圆周角相等；在同一圆或同一圆内，相等的圆周角所对的弧也相等。

118推论2半圆的圆周角(或直径)是直角；圆周角为90°的弦是直径。

119推论3如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

120定理圆的内接四边形的对角线是互补的，任何外角都等于其内角。

121①直线L与⊙o的交点为D < R。

(2)直线L的切线，且⊙o D = R。

③线l和⊙o被d > r隔开。

122切线定理通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

123切线的性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径。

124推论1过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

125推论2过切线且垂直于切线的直线必过圆心。

切线长度定理126从圆外的一点引出圆的两条切线，它们的切线长度相等。圆心和该点之间的连线平分两条切线的夹角。

127一个圆的外切四边形的两条对边之和相等。

128弦角定理弦角等于它所夹圆弧对的圆周角。

129推论:如果两个弦切角围成的圆弧相等，那么这两个弦切角也相等。

130相交弦定理圆内两条相交弦的长度除以交点的乘积相等。

131推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半由它除以直径形成。

两条线段的比例中值

132切线定理从圆外的一点引出圆的切线和割线，切线长度就是要切割的点。

在一条直线和一个圆的交点处的两条直线的长度的比例平均值。

133推断从圆外的一点引出圆的两条割线，从该点到每条割线与圆的交点的两条线的长度乘积相等。

134如果两个圆相切，那么切点一定在连线上。

135①两圆的周长D > R+R ②两圆的周长D = R+R。

③两个圆的交r-r < d < r+r (r > r)

④内切圆D = R-R (R > R) ⑤两个圆包含D < R-R (R > R)。

定理136两个圆的交线垂直平分两个圆的公共弦。

定理137把一个圆分成n(n≥3)；

(1)依次连接各点得到的多边形就是这个圆的内接正N多边形。

⑵过各点的圆的切线，其顶点为相邻切线交点的多边形为该圆的外切正N多边形。

定理138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆。

139正N边形的每个内角等于(n-2) × 180/n。

140定理正N边形的半径和apothem把正N边形分成2n个全等的直角三角形。

141正N多边形的面积Sn = PNRN/2 P表示正N多边形的周长。

142正三角形面积√ 3a/4a表示边长。

143如果一个顶点周围有K个正N边角，那么这些角的和应该是

360，所以k× (n-2) 180/n = 360改为(n-2)(k-2)=4。

144的弧长计算公式:L = nπ r/180。

145扇区面积公式:S扇区= n π R2/360 = LR/2。

146内公切线长度= d-(r-r)外公切线长度= d-(r+r)

147等腰三角形的两英尺相等。

148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高度重合。

149如果三角形的两个角相等，那么这两个角的对边也相等。

150有三条等边的三角形叫做等边三角形。

完全归纳法

(-)第一个数学归纳法:

一般来说，要证明一个与正整数n有关的命题，有以下步骤:

(1)证明当n取第一个值时命题成立；

(2)假设n = k(k的第一个值≥ n，k为自然数)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。

(二)第二种数学归纳法:

第二个数学归纳原理是，有一个命题与自然数n有关，如果:

(1)当n = 1时，命题成立；

(2)假设命题在n≤k时成立，在n = k+1时也成立。

那么，这个命题对所有自然数n都成立。

(3)螺旋诱导:

螺旋归纳法是归纳法的一种变体，其结构如下:

圆周率和气是两套命题，如果:

P1成立。

Pi已建立= & gt齐成立

那么π和qi对所有自然数I都成立。

用第一种数学归纳法很容易证明螺旋归纳法是正确的。

排列，组合

？阶乘:

n！= 1× 2× 3× …× n，(n为不小于0的整数)

规则0！=1。

？等级

从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列数，

A(n，m)= n！/m！(m是上标，n是下标，所有不小于0的整数，m≤n)

结合

从n个不同的元素中，一次拿出m个元素，不管什么顺序，都叫组合。所有不同组合中的物种数量

C(n，m)= A(n，m)/(n-m)！=n！/〔m！？(n-m)！)(m为上标，n为下标，所有不小于0的整数，且m≤n)

◆组合号的属性:

C(n，k) = C(n，k-1) + C(n-1，k-1)；

对于组合数C(n，k)，n和k分别转换为二进制。如果一个二进制位对应的n是0，k是1，那么c (n，k)是偶数；否则，就是怪事了。

◆整数倍二项式定理(二项式定理)

(a+b)^n=c(n,0)×a^n×b^0+c(n,1)×a^(n-1)×b+c(n,2)×a^(n-2)×b^2+...+C(n,n)×a^0×b^n

所以有c (n，0)+c (n，1)+c (n，2)+...+c (n，n)。

=c(n,0)×1^n+c(n,1)×1^(n-1)×1+c(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+c(n,n)×1^n =(1+1)^n

= 2^n

结石

极限的定义:设函数f(x)在点x .在的向心邻域有一个定义，如果有一个常数a，对于任意给定的正数ε(不管它有多小)，总有一个正数δ，这样当x满足不等式0

| f(x)-A | & lt；ε

那么当x → x时，常数a称为函数f(x)

几种常用数列的极限；

常数序列的极限是c。

An=1/n限制为0。

An = x n绝对值x小于1，极限为0。