导数在中学数学中的应用

根据定义，有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x)，其中△x→0，而展开sin(x+△x)-sinx，就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx，因为△x→0。所以(sinx)'=lim(cosxsin△x)/△x，这里必须用到一个重要的极限。当△x→0时，lim(sin△x)/△x=1，所以(sinx)'=cosx。

同理，(cosx)'=lim[cos(x+△x)-cosx]/△x，其中△x→0。此时cos(x+△x)-cosx = cosx cos△x-cosx →- sinx sin△x，(cosx)。

(lnx)' = lim [ln (x+△ x)-lnx]/△ x，△ x→ 0。ln (x+△ x)-lnx = ln (1+△ x/x)，这里还需要一个极限:当t→0时，ln(。

而换底的公式是logaX=lnX/lna=(loga e)lnX，我们得到了(lnX)'=1/X，所以[logaX]' =[(logae)lnX]' =(logae)/X .

这些公式的推导需要一些中学课本上没有提到的重要极限，所以课本直接把结果写出来，不推导公式。我的回答到此为止。如果有不明白的地方，请继续讨论。