数学的历史进程
2(公元前600-5世纪)古希腊数学:论证数学的起源，欧洲几何学。
3(3世纪-14世纪)中世纪的中国数学、印度数学和阿拉伯数学:实用数学的辉煌。
4(12世纪-17世纪)现代数学的兴起:代数的发展和解析几何的诞生。
5世纪(14世纪-18世纪)微积分的建立:牛顿和莱布尼茨对微积分的建立。
6(18世纪-19世纪)分析时代:微积分在各个领域的应用。
7(19世纪)代数的重生:抽象代数(近世代数)的生成
8(19世纪)几何的转变:非欧几何
9(19世纪)分析的刚性:微积分基础的刚性。
10 20世纪纯数学的趋势
21世纪的应用数学世界
中国数学的历史进程
中国在古代是世界上数学领先的国家。如果按现代学科分类，可以看到在算术、数、几何、三角等方面非常发达。现在让我们简单回顾一下中国初等数学的发展史。
(1)属于算术的材料。
大约在3000年前，中国就已经知道了自然数的四则运算，而这些运算只是一些结果，保存在古代的文字和书籍中。乘法和除法的运算规则在后来的《孙子兵法》中有详细的记载(公元3世纪)。中国古代用筹码来计数。在我们古人的计数中，我们使用了和现在一样的比特率。用筹码计数的方法是用竖式筹码表示单位数、百位数、万位数。用横排芯片表示十位数、千位数等。，在操作过程中也很明显。《孙子算经》用十六个字来表示。“一从十横，一百挺立，千面平等。”
和其他古代国家一样，乘法表在中国很早就有了。中国的乘法表在古代叫九九。估计2500年前中国就有这张桌子了。当时人们用九九来表示数学。现在我们还能看到汉代(公元前一世纪)遗留下来的乘法口诀为99的木简。
根据现有史料，中国古代数学著作《九章算术》(公元1世纪左右)中的分数算术是世界上最早的文献，《九章算术》中的分数算术与我们现在使用的几乎完全相同。
在古代，学习算术也是从量的度量开始认识分数。《孙子算经》(公元3世纪)和《夏后阳算经》(公元6、7世纪)都是在讨论分数之前开始讲度量衡的。描述度量衡后，夏侯阳《经算》记载:“十倍加一，百倍加二，千倍加三，千倍加四；十分一等，百分二等，千分三等，万分四等。”这个十的次方无疑是中国最早的发现。
在小数的记数法中，到了元代(公元13世纪)，用一个小楷表示，如13.56表示1356。在算术上，还应提出公元三世纪的“孙子算经”问题，发展为宋代(公元1247)秦的“大拓求术”。这是中国的余数定理，同样的方法只有欧洲在19世纪研究过。
宋代(公元1274年)杨辉写的书中，有一张1-300以内的因子表。比如297用“三因子加一损失”来表示，即297=3×11×9，(165438)。杨辉还用“联体加法”这个术语来说明201-300以内的素数。
(2)属于代数的材料
自从他在《九章算术》第八卷解释方程以来，中国在数值代数领域一直保持着辉煌的成就。
《九章算术》的方程一章首先说明了正负法是精确不变的，就像我们现在学习初等代数时学习正负数的四则运算一样，负数的出现丰富了数的内容。
公元前一世纪，中国古代有多元方程、一元二次方程、不定方程等几种方程。借用几何图形证明一元二次方程。不定方程在中国两千多年前的出现是一个值得关注的课题，比我们现在所熟悉的希腊丢番图方程早了三百多年。x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，是中国在公元7世纪唐代王晓桐的《数古经》中记载的，通过“从方分之”得到数字解(可惜原解丢失)。不难想象王晓桐得到这个解时的愉悦。他说谁能在他的作品中改一个字，谁就能得到几千美元的奖励。
11世纪的贾宪已经发明了和霍纳(1786-1837)一样的数值方程解法，我们不能忘记中国13世纪数学家秦的伟大贡献。
在世界数学史上，方程的原始记录有不同的形式，但相比较而言，不得不推中国天术的简单明了。四元素技术是天体技术发展的必然产物。
连续剧是古老的东西。两千多年前的《周志than经》和《九章算术》都讲过等差数列和几何数列。14世纪初，中国对元代朱世杰系列的计算应给予高度评价。他的一些作品被记录在欧洲18世纪和9世纪的作品中。在11世纪，中国就有了完整的二项式系数表，也有了编制这个表的方法。
历史文献表明，著名的余缺计算技术是从中国传到欧洲的。
内插法的计算在中国可以追溯到6世纪的刘卓，7世纪末的僧尼就有了不等间距的内插法。
在14世纪以前，中国是研究代数中许多问题的先进国家之一。
即18、9世纪，李锐(1773-1817)、王来(1768-1865438)去了李(18165438)。
(3)属于几何学的材料。
自明末(16世纪)至欧几里得《几何原本》一部分中译本出版之前，中国的几何学一直在独立发展。我们应该关注许多古代的手工艺品和建筑工程、水利工程方面的成就，其中蕴含着丰富的几何知识。
中国的几何学历史悠久，可靠的记载可以追溯到公元前15世纪。在甲骨文中，有两个词:规矩和矩。规则用来画圆，矩用来画方。
汉代石刻中的矩的形状类似于现在的直角三角形。公元前二世纪左右，中国就有了著名的毕达哥拉斯定理的记载(毕达哥拉斯的起源比较晚)。
圆和方的研究在中国古代几何学发展中占有重要地位。墨子对圆的定义是:“圆与一等长。”圆心等于圆周的圆叫做圆，比欧几里德早100多年就有解释。
还有刘鑫(？23)、张衡(78-139)、刘徽(263)、王范(219-257)、祖冲之(429-500)、赵幼芹(公元13世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵幼芹的方法和结果。
祖冲之得到的结果π=355/133比欧洲早了一千多年。
在刘徽的《九章算术》笔记中，他对于极限概念的天才已经多次显露出来。在平面几何中用直角三角形或正方形，在立体几何中用圆锥体和矩形圆柱体进行位移，这些构成了中国古代几何的特点。
我国数学家善于将代数成果应用于几何，用几何图形证明代数、数值代数、直观几何有机结合，在实践中取得了良好的效果。
这只是说明在18世纪和9世纪，中国的数学家们研究了切圆的比例，项名达(1789-1850)用切圆计算椭圆周长。这些都是继承古代方法并加以发挥而获得的(当然也需要吸收外国数学的精华)。
(4)属于三角形的材料。
三角学的出现是因为测量，首先天文学的发展产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为球面测量的知识很早就有了，可以确定恒星的位置；平面测量在《周拍舒静》中已有记载，如果用矩来测量深度和距离。
刘辉割线法以半径为单位求圆内正六边形和十二边形各边的长度。这个答案和2sinA (A是圆心角的一半)的值是一致的，同样的原理也适用于12世纪赵幼芹用一个正四边形在一个圆上的计算。从刘辉和赵幼琴的计算中我们可以得到7.5o，15o，22.5o和3000。
在古代历法中，有一个二十四节气的日晷，一张八尺长的桌子直立在地上。由于地球的公转，每个节气太阳光在地面这张桌子上的投影是不同的，这些影子长度与八英尺桌子的比例构成了一个余切函数表(虽然当时还没有这个名称)。
十世纪中国天文学家郭守敬(1231—1316)在球面三角形上发现了三个公式。现在我们用三角函数术语:正弦、余弦、正切、余切、割线、余切，这些都是16世纪中国才有的名称。当时把正矢和余切两个函数相加就叫八线。
17世纪后期，中国数学家梅文鼎(1633-1721)编了一本关于平面三角形的书和一本关于球面三角形的书。关于平面三角形的书叫《平面三角形大纲》，里面有以下内容:(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)包含一个圆和一个正方形的三角形的求积；(4)测量。这与现代平面三角形的内容相差不远。梅文鼎还写了一本关于三角形上著名的乘法和差分公式的书。18世纪后，中国也出版了许多三角学书籍。
《易经》记载“古有结绳之治，后有圣贤改书约”。殷墟出土的甲骨文中有许多数目字。从一到十，以及百、千和万都是特殊的符号字符。* * *有13个独立符号，记数法写在一个组合文档中，包括十进制记数法，最大数为三万。
计算是中国古代的一种计算工具，这种计算方法叫做计算。计算的年代无法考证，但可以肯定的是春秋时期计算已经非常普遍。
有两种方法通过计算筹码来计算数字，垂直和水平:
在表示多位数时，采用十进制数值体系，每一位的数字从左到右排列，纵横交错(规则是:一竖十横，一百挺立，千和十相对，万和一百相等)，用一个空格表示零。计算和融资为加减乘除建立了良好的条件。
计算直到15世纪元末才逐渐被算盘取代，正是在计算的基础上，中国古代数学取得了辉煌的成就。
在几何学方面，据《史记·夏本纪》记载，于霞使用过尺、矩、尺、绳等绘图和测量工具。，并且已经发现了勾股定理的一个特例，西方称之为勾股定理。战国时期齐国人写的《验工书》，总结了当时的手工业技术规范，包含了一些计量内容，也涉及到一些几何知识，比如角度的概念。
战国时期百家争鸣也促进了数学的发展，有些学派还总结概括了许多与数学有关的抽象概念。众所周知的是莫箐的一些几何术语的定义和命题，如“圆，一个等长”，“平，同高”等等。墨家也给出了有限和无限的定义。《庄子》记载了惠施等人的著名理论，以及桓疃、公孙龙等辩手提出的论题，强调抽象的数学思想，如“最大者为最大，最小者为最小”，“一尺杵，每日取半，取之不尽”等等。许多几何概念的这些定义、极限思想等数学命题都是相当有价值的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想并没有得到很好的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦、预测吉凶的《易经》已经从组合数学中萌芽，体现了二进制的思想。
第二，中国数学体系的形成和基础。
这个时期包括了从秦汉、魏晋、南北朝到***四百年的数学发展史。秦汉时期是中国古代数学体系的形成时期。为了将不断增长的数学知识系统化、理论化，专门的数学书籍相继出现。
中国历史上最早的数学专著是1984年湖北江陵张家山出土的汉简《舒舒》，成书于西汉初年。同时有一部《汉朝简历》写于吕后二年(公元前186年)，所以该书最晚写于公元前186年(应该是之前)。
西汉末年(公元前一世纪)编纂的《周快舒静》虽然是一部关于盖天说宇宙论的天文著作，但其中包含了许多数学内容，在数学方面主要有两个成果:(1)提出了勾股定理的特例和普遍形式；②陈子测量太阳高度和距离的方法是重力差(毕达哥拉斯方法)的先驱。此外，还有更复杂的求根问题和分式运算。
《九章算术》是一部经过几代人编纂、删改的古代数学经典。写于东汉初年(公元前一世纪)。本书以习题集的形式写成，* * *收集了246个问题及其解答，分属于九章:田方、小米、衰落、韶光、上工、平均损失、盈亏、方程、勾股。主要内容包括四个分数和比例算法，各种面积和体积的计算，勾股度量的计算。在代数中，方程一章中介绍的负数概念和正负数加减定律，是世界上数学史上最早的记载。书上线性方程组的解法和现在中学教的基本一样。就《九章算术》的特点而言，它注重应用和理论联系实际，形成了以计算为中心的数学体系，对中国古代计算产生了深远的影响。它的一些成果，如十进制数值体系、现代技能和剩余技能等，也传到了印度和阿拉伯，并通过这些国家传到了欧洲，促进了世界数学的发展。
魏晋时期，中国的数学在理论上有了很大的发展。其中赵爽(生卒年不详)和刘徽(生卒年不详)的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽，三国吴人，中国古代最早证明数学定理和公式的数学家之一。他对《周篇·舒静》作了详细的注释，并用几何方法严格证明了勾股方图中的勾股定理。他的方法体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法解二次方程的新方法。263年，三国任伟刘徽注释《九章算术》，其中不仅从总体上解释和推导了原书的方法、公式和定理，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系和数学原理，其论述富有创造性，创造了卷1《方场》(即连接圆内正多边形无限逼近圆面积的方法)中的割线法。为圆周率的研究奠定了理论基础，提供了科学的算法。他用“割圆法”得到圆周率的近似值为3927/1250(即3.1416)。《上工篇》构建了“牟和方盖”的几何模型，解决了球体积公式的问题，为祖宣获得正确的结果开辟了道路。为了建立多面体体积理论，杨成功地用极限方法证明了马术。他还写了《岛屿计算》，发展了古老的毕达哥拉斯测量法——重力差技术。
南北朝时期的社会长期处于战乱和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。有一些算术方面的书，比如《孙子兵法》《夏侯阳兵法》《张秋兵法》。写于公元4-5世纪的《孙子算经》给出了“物是未知的”这个问题，并给出了答案，由此引出了中国的一个同余组的求解问题。《张秋俭suan经》中的“百鸡问题”引出三个未知不定方程。
公元5世纪，这一时期最具代表性的是祖冲之和祖宣的作品。他们在刘徽注《九章算术》的基础上，极大地推进了传统数学，成为重视数学思维和推理的典范。他们还对天文学做出了杰出的贡献。他们的书《篆书》已经丢失了。据史料记载，他们在数学上有三大成就:(1)将圆周率计算到小数点后第六位，得到3.1415926
当代天文学家何承田发明了调整太阳的方法，用有理分式逼近实数，发展了古代的不定分析和数值逼近算法。
第三，中国数学教育体系的建立
隋朝大规模建筑，客观上促进了数学的发展。唐初，王孝通编撰了《古算经》，主要通过土石方计算、工程分工与验收、仓窖计算等实际问题，探讨如何用几何方法建立三次多项式方程，并在《九章算术》中发展了平方根理论。
隋唐时期是中国封建官僚制度确立的时期。随着科举制度和国子监制度的建立，数学教育有了很大的发展。656年，国子监建立数学馆，有数学方面的博士和助教，太史令李等人编注了十本计算书(包括《周篇计算》、《九章算术》、《岛算》、《孙子计算》、《张秋计算》、《夏侯阳计算》、《吉谷计算》)。它在保存古代数学经典方面发挥了重要作用。
随着南北朝时期一些重要的天文发现在隋唐之交的历法编制中开始实施，唐代历法中出现了一些重要的数学成果。公元600年，隋代在解黄时，提出了世界上第一个等间距的二次插值公式，这是数学史上的杰出创造。到了唐代，僧人及其随从在大李岩将其发展为不等间距的二次插值公式。
晚唐时期，计算技术进一步完善和普及，出现了许多实用的算术书籍，试图简化乘除算法。
第四，中国数学发展的高峰
唐朝灭亡后，五代十国依然是军阀混战的延续。直到北宋统一中国，农业、手工业和商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。公元11世纪至14世纪(宋元)，计算数学达到顶峰，是我国古代数学空前繁荣、成果丰硕的鼎盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下:贾宪的《黄帝九章》(165438+20世纪中叶)，的《上古起源论》(65438+2世纪中叶)，秦的《九章数书》。杨辉九章算法(1261)，日常算法(1262)，杨辉算法(1274-65438)。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。主要任务是:
公元1050年左右，北宋贾宪(生卒年不详)在《黄帝九章》中创造了一种“增、乘、开法”来开启任何更高的权力。直到公元1819年，英国人威廉·乔治·霍纳才想出了同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，类似的“巴斯加三角形”直到17世纪才在欧洲出现。(《黄帝九章算术精草》已失传)
北宋沈括在1088-1095年期间，从餐厅数量、梯田容积等生产实践问题出发，提出了“缺口积法”，开始研究高阶等差数列求和，建立了正确的求和公式。沈括还提出了“会圆”理论，得出了中国古代数学史上第一个弧长近似公式。他还运用后勤学的思想，分析研究了后勤补给与部队进退的关系。
公元1247年，南宋秦在《舒舒九章》中推广了乘除法，并描述了高次方程的数值解法。他列举了20多种来自实践的高阶方程的解法，其中最高的是十次方程。直到16世纪的欧洲，意大利人西皮奥·德尔·费罗才提出了三次方程的解法。秦还系统地研究了的一次同余理论。
公元1248年，叶莉(李治，1192-1279年)撰写了《测圆海镜》，这是第一部系统论述“天术”(一维高次方程)的著作，是数学史上的杰出成就。在《圆海镜？在《序言》中，叶莉批判了贬低科学实践、把数学视为“拙劣的技能”和“玩物丧志”的谬误。
公元1261年，南宋杨辉(生卒年不详)在《九章算法详解》中用“堆砌术”求几类高阶等差数列之和。公元1274年，他还在《乘除变换的起源》一书中描述了“九归敏捷法”，介绍了乘除的各种计算方法。公元1280年，王勋、郭守敬在编制元代授时历法时，列出了三倍差的插值公式。郭守敬还用几何方法找到了与现在的球面三角形等价的两个公式。
公元1303年，元朝的朱世杰(生卒年不详)写了四元素的玉镜。他把“天师技能”推广到“四元素技能”(四元素联立方程)，提出了消除元素的解法。直到公元1775年，欧洲的法国人艾蒂安·贝佐特(etienne bezout)才提出了同样的解决方案。朱世杰还研究了有限级数的求和，并在此基础上得到了高阶差分的插值公式。直到65438年到1678年，英国人詹姆斯·格雷戈里和英国人伊萨克·牛顿提出了欧洲插值的普遍公式。
公元14世纪，中国人已经使用了算盘。在现代计算机出现之前，算盘是世界上一种简单而有效的计算工具。
五、中国数学的衰落与日常数学的发展。
这个时期指的是从14世纪中叶明朝建立到明朝灭亡的1582年。除珠算外，数学处于整体弱势状态，涉及珠算的局限性、13世纪考试制度中数学内容的删除、明代大兴八段考试制度等复杂问题。很多中外数学史家至今还在讨论其中涉及的原因。
明朝最大的成就是珠算的普及，出现了很多珠算读本。直到程大伟的《指挥算术》(1592)问世，珠算理论才变得系统化，标志着从预备到珠算过渡的完成。但由于珠算的普及，计算几乎消失，以计算为基础的古代数学逐渐消失，数学长期停滞不前。
六、西方初等数学的引进和中西结合。
16世纪末，西方传教士开始移居中国。由于明清时期制作天文历法的需要，传教士开始将与天文历法相关的西方初等数学知识引入中国。在中国数学家“西学东渐”思想的支配下，数学研究出现了中西融合的局面。
16世纪末，西方传教士和中国学者共同翻译了许多西方数学专著。其中，第一部影响较大的是意大利传教士利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》前六卷(1607)，其严谨的逻辑体系和翻译方法得到了徐光启的高度评价。徐光启自己写的《度量异同》和《毕达哥拉斯的意义》，应用了《几何原本》的逻辑推理方法，论证了中国的毕达哥拉斯观察。此外，《几何原本》教材中的大部分名词都是首创，沿用至今。在引进的西方数学中，三角学仅次于几何学。在此之前，三角学只有零星的知识，后来发展很快。介绍西方三角学的著作有《戴斯》(第2卷)、1631)、《割线圆八线表》(第6卷)、贾科莫·罗的《测量意义》(第10卷)。在徐光启的《崇祯历书》(卷137、卷1629-卷1633)中，介绍了关于圆锥曲线的数学知识。
进入清代后，中西数学的杰出代表梅文鼎坚信中国传统数学“必精”，对古代名著进行深入研究，同时正确对待西方数学，使其在中国生根发芽，对清代中期的数学研究高潮产生了积极影响。当代数学家包括王羲之和年希尧。清朝康熙皇帝热爱科学研究，他的《丁羽数学精要》(53卷，1723)是一部综合性的初等数学著作，对当时的数学研究有一定的影响。
七。传统数学的整理与复兴
乾嘉年间，以考据为主的乾嘉学派编纂成《四库全书》，其中的数学著作包括《算经十书》和宋元著作，为保存濒危的数学典籍作出了重要贡献。
在传统数学的研究中，很多数学家都有所发明。例如，焦循、王来和李锐，他们被称为“三个谈论天空的朋友”，做了许多重要的工作。李在栈比类中得到了三角自乘栈的求和公式(约1859)，现称李恒等式。这些著作比宋元时期的数学进步了一步。阮元、李锐等人编纂了46卷(1795-1810)的《天文学家和数学家传》，开数学史研究之先河。
八、西方数学再次东进。
1840的乌鸦战争后，闭关锁国政策被迫停止。译介的第二次高潮，始于文同馆增设“算术”和上海江南制造局增设翻译馆。主要译者和著作有:李与英国传教士威廉·格里尔合译的《几何原本》后九卷(1857)，使中国有了完整的《几何原本》中文译本；代数13(1859)；微品之代，卷18 (1859)。李与英国传教士艾合译《圆锥曲线论》3卷，华与英国传教士约翰·弗莱尔合译《代数学》25卷(1872)，《微分积溯源》8卷(1874)，以及《可疑数学》6418。在这些翻译中，创造了许多数学术语和术语，这些术语和术语一直沿用至今。1898年，史静大学堂成立，文同博物馆合并。1905年，废除科举，建立西式学校教育，使用的教科书与其他西方国家的教科书相似。
九、中国现代数学的建立
这一时期是20世纪初至今的一个时期，常以1949新中国成立为标志分为两个阶段。
中国近代数学是从清末民初的留学开始的。1903较早留学数学的冯祖训，1908留学美国的郑，1910留学美国的胡明福和，191911留学美国的蒋力夫，19655。陈1913留学日本；1915在比利时留学的熊庆来；苏等人留学日本1919。他们大多在回国后成为著名的数学家和数学家，为中国近代数学的发展做出了重要贡献。其中，胡明福于1917获得美国哈佛大学博士学位，成为中国第一位获得博士学位的数学家。随着留学生的回归，世界各地大学的数学教育都有所改善。最初只有北京大学1912建校时成立了数学系，蒋力夫1920在天津南开大学成立了数学系，熊庆来分别在东南大学(现南京大学)和清华大学1926成立了数学系。1930年，熊庆来在清华大学发起成立数学研究部，开始招收研究生。陈省身和吴达仁成为中国最早的数学研究生。上世纪30年代，、、华、1936、徐宝珍等出国学习数学。同时，国外的数学家也来中国讲学，比如英国的罗素(1920)、伯克霍夫(1934)、奥斯古德(1934)、维纳(美国)。1935中国数学会成立大会在上海召开，33名代表出席。1936《中国数学会志》和《数学学报》的出版，标志着我国现代数学研究的进一步发展。解放前，数学研究集中在纯数学领域，国内外发表了600多种理论。在分析方面，陈的三角级数理论，熊庆来对亚纯函数和整函数的研究是代表作，还有泛函分析、变分法、微分方程和积分方程方面的成果；在数论和代数领域，华的解析数论、几何数论、代数数论和近世代数研究成果显著；在几何和拓扑方面，苏的微分几何、的代数拓扑、的纤维丛理论和指示类理论都做了开创性的工作。在概率论与数理统计中，徐宝桢在一元和多元分析中得到了许多基本定理和严格证明。此外，李炎和钱宝玉开创了中国数学史的研究，他们在古代史料的注释和考证分析方面做了大量的基础工作，使我们的民族文化遗产重新焕发光彩。
中国科学院成立于6月1949 11。1951 3月中国数学报(1952)改为数学报(1951 3月中国数学报(10)。1951 8月，中国数学会召开了建国后第一次全国代表大会，讨论了数学的发展方向和各校数学教学的改革。
中华人民共和国成立以来，数学研究取得了很大进展。50年代初，发表了华的《堆素数论》(1953)、苏的《射影曲线引论》(1954)、陈的《矩形函数级数和》(1954)。他们除了在数论、代数、几何、拓扑学、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科上继续取得新的成就外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑、数学基础等方面取得突破，许多达到世界先进水平，同时培养和成长了一大批优秀的数学家。