高中做竞赛或其他题用到的数学思想有哪些？

思想方法篇

一、函数方程思想

函数方程思想是运用函数和方程的观点和方法处理变量或未知数之间关系的一种解决问题的思想方法。这是一个非常重要的数学概念。1.函数思想:用函数关系表示某一变化过程中的一些相互制约的变量，研究这些量之间的相互制约关系，最终解决问题，这就是函数思想；2.运用函数思想，建立变量之间的函数关系，是解决问题的关键步骤，大致可以分为以下两步:(1)根据问题的含义建立变量之间的函数关系，将问题转化为相应的函数问题；(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；(3)方程思想:在某一变化过程中，往往需要根据某些要求来确定某些变量的值。这时候往往会列出这些变量的方程或(方程式)，通过求解方程(或方程式)来求解。这就是方程思想；3.函数和方程是两个密切相关的数学概念，相互渗透。很多方程问题需要用函数的知识和方法来解决，很多函数问题也需要方程方法的支持。函数与方程的辩证关系形成了函数方程的思想。二、数形结合是中学数学中四种重要的思维方法之一。对于所研究的代数问题，我们有时可以研究对应几何的性质来解题(借助形状)或者对于所研究的几何问题，可以借助对应图形的数量关系来解题(借助数字)。这种解题方法叫数形结合。1.数形结合和数形转换的目的是发挥形状的生动性、直观性和数的思维的规范性、严谨性，二者相辅相成。2.恩格斯是这样定义数学的:“数学是研究现实世界中数量和空间形式之间关系的科学”。也就是说，数形结合是数学的本质特征，宇宙万物都是数形和谐统一。所以，在数学学习中突出数形结合的思想，就是全面把握数学的本质和灵魂。3.数形结合的本质是几何图形的性质反映了量的关系，量决定了量。数形结合，各方面都是好的，分开了一切都是错的。“数形结合作为一种数学思维方法的应用，大致可以分为两种情况:要么借助于数字的精确性来阐明形状的某些性质，要么借助于形状的几何直观来阐明数字之间的某种关系。5.数形结合作为手段主要体现在解析几何中。历年高考题的答案都有这方面的考查(即利用代数方法研究几何问题)，数形结合作为手段体现在高考客观题中。6.数形结合解题要抓住以下几个关键点:(1)对于研究距离、角度或面积的问题，可以直接从几何图形中求解；(2)研究函数、方程或不等式(最大值)的问题，可以通过函数的形象(函数的零点和顶点是重点)来解决，从而转移和综合运用知识；(3)应注意以下几类问题:分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆上的点x2+y2=1、余弦定理，可以达到解题的目的。给出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解。1.与分类讨论相关的数学问题需要运用分类讨论的思想来解决，而引起分类讨论的原因大致可以归纳为:(1)涉及的数学概念是分类讨论；(2)应用的数学定理、公式，或运算性质、规律分类给出；(3)所解数学问题的结论有多种情况或可能性；(4)数学问题中存在参数变量，这些参数变量的不同取值导致不同的结果；(5)较复杂或非常规的数学问题需要采用分类讨论的解题策略来解决。2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中应用广泛。根据不同的标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，以免重复或遗漏，包括各种情况，同时要有利于问题研究。它是在研究和解决相关数学问题时，通过某种手段将问题转化为解的方法。一般复杂的问题总会转化为简单的问题，困难的问题转化为容易解决的问题，未解决的问题转化为已解决的问题。立体几何中常用的变换手段有1。通过将一个辅助平面转化为平面问题，将已知元素和未知元素聚集在一个平面上，实现虚线和点。2.平移和投影，通过它将立体几何问题转化为平面问题，将未知转化为已知；3.等积和切割；4.类比和联想；5.曲线和直线之间的转换；6.容积率、面积比、长度比的换算；7.解析几何的创造过程本身就是“数”与“形”相互转化的过程。解析几何将数学主要研究对象的数量关系与几何图形联系起来，将代数与几何融为一体。二、中学数学常见的解题方法是1。匹配法是指把一个代数形式变成一个或几个代数平方。它的基本形式是:ax2+bx+c=。高考中常见的基本公式形式有:(1)A2+B2 =(a+B)2-2A B =(a-B)2+2A B；(2)(2)a2+B2+ab =；(3)(3)a2+B2+C2 =(a+b+c)2-2 ab–2 a c–2 BC；(4)(4)a2+B2+C2-a b–BC–a c =[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]；(5) ;配点法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解和证明，以及二次曲线的讨论。2.待定系数法是通过在方程中引入一些待定系数来解决具有一定确定性的数学问题。待定系数法的主要理论基础是:(1)多项式f(x)=g(x)。(2)多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是:两个多项式的相似项的系数相等；应用待定系数法的步骤是:(1)确定解析式(或曲线方程等。)的待定系数的给定问题；(2)根据恒等式条件，列出一组待定系数方程；(3)解方程或消去待定系数，从而解决问题；三待定系数法主要适用于:求函数的解析式、求曲线方程、因式分解等。3.换元法和换元法是指引入一个或几个新变量来代替原有的一些变量(或代数公式)，在求出新变量的结果后，返回求出原有变量的结果。替代法通过引入新元素把分散的条件联系起来，或显示隐含的条件，或把条件与结论联系起来。或者成为大家熟悉的问题。其理论基础是等价替换。高中数学换元法主要有两种:(1)整体换元法:将“元”变“形”；②三角交换，以“式”为“元”；(3)此外，还有对称替代、平均替代和普遍替代。换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项和等等。此外，它在解析几何中也有广泛的应用。在使用替代法解决问题时，要注意新加坡元的约束和整体替代的策略。4.向量法向量法是一种利用向量知识解题的方法，解题中常用到以下知识:(1)向量的几何表示，两个向量。(2)平面向量的基本定理及其理论；(3)利用向量的量积处理长度、角度和垂直度问题；(4)两点间距离公式、线段分点公式、平移公式；5.分析法和综合法(1)分析法是以经过验证的结果为基础，逐步推导出能使其成立的条件，直至已知事实；分析是“持果因”的直接证明。(2)综合是“持果因”的直接证明，是以证明的结论和公式为基础的。(3)分析和综合是证明数学问题的两种最基本的方法。《持果因》分析方法清晰，思路清晰。因此，分析方法和综合方法经常交替使用。解析法和综合法应用广泛，几乎所有的问题都可以用这两种方法解决。6.反证法是数学证明的重要方法，因为命题P与其否定相反，所以要证明一个命题为真，只要它的否定为假。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)到证明命题的证明方法叫做归谬法。(2)反证法:从命题的条件和作出的结论出发，经过正确的推理和论证，得出矛盾的结果；(3)结论:如果有矛盾，假设不正确，那么肯定的结论是正确的；2.反证法的适用范围:(1)已知条件很少或已知条件能推出的结论很少时的命题；(2)结论的对立面是比原结论更具体、更简单的命题，尤其是结论是否定形式(“不”、“不可能”、“不可得”)的命题；(3)涉及各种无穷结论的命题；(4)以“至多(至少)及若干”为结论的命题；(5)存在命题；(6)唯一性命题；(7)一些定理的逆定理；(8)一般关系不清或难以直接证明的不等式等。3.反证法的逻辑基础是“矛盾律”和“排中律”。7.此外，还有数学归纳法、同归法、整体替换法等。