如何编写课程标准:以初中数学为例
我只从四个方面向老师汇报我个人的数学教学经验，借助教学案例分析。这四个方面是:
1.在多样化的学习活动中实现三维目标的融合；2.课堂教学过程中预设与生成的动态调整：3.关于数学习题课的思考:4.关于课堂提问的思考。
首先，本文以勾股定理的教学为例，谈谈如何在多样化的学习活动中实现三维目标的整合。
案例1:勾股定理的课堂教学
第一个环节:探索勾股定理的教学。
老师(展示四个图形和表格):观察并计算每个图形中正方形A、B、C的面积，完成表格。你发现了什么？
面积a
b的面积
c的面积
图1
图2
图3
图4
生:从表中可以看出，两个正方形A和B的面积之和等于正方形C的面积..而且从图中可以看出，正方形A和B的边是直角三角形的两条直角边，正方形C的边是直角三角形的斜边。根据以上结果可以得出，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“数”与“形”的密切关系，形成猜想，积极探索结论，训练学生的归纳推理能力。数形结合的思想自然得到应用和渗透，“面积法”也为后来定理的证明做了铺垫。双基教学在于学习情境。
第二个环节:证明勾股定理的教学
老师给每组做直角三角形和正方形的纸片。首先，他们被分组到拼图中进行探索。在交流和展示中，学生可以在实践探索活动中形成新的能力(试图发现谜题和证明的规律:同样的图形面积用不同的方式表达)。
学生演示
通过对证明方法的分组探索和演示，让学生将已有的面积计算知识与待证明的代数表达式联系起来，通过对几何意义的理解尝试构造一个图形，让学生在探索证明方法的过程中深入理解数学思维方法，提高创新思维能力。
第三个环节:勾股定理的教学。
老师(展示右图):右图由两个方块组成。
构图的图形，可以不变地切割成新的区域吗？
正方形，如果可以的话，看谁切的最少。
学生(展示右图):可以剪成一个区域。
恒新的正方形，设置原来的两个正方形。
边长是A和B，所以它们的面积之和是
A2+ b2，新正方形的面积不变。
应该是a2+ b2，所以只要你能用A和b剪出两片。
一个有右边的直角三角形，再把它们拼在一起。
边长为a2+ b2的正方形就可以了。
问题是数学的核心，学习数学的核心在于提高解决问题的能力。教师在这里设置问题，既是对勾股定理的灵活运用，也是对勾股定理探索方法和证明思想(数形结合的思想、截补面积的方法、化归思想)的综合运用，让学生在解题中发展创新能力。
第四个环节:挖掘勾股定理文化价值。
师:勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，数字与形状密切相关。在培养学生运用数学思维方法进行数学计算、数学猜想、数学推理、数学论证和解决实际问题等方面具有独特的作用。勾股定理最早记载于中国古代公元前11世纪的《周篇·舒静》，在《九章算术》中提出了“互补进出”原理来证明勾股定理。勾股定理，在西方也称为勾股定理，是欧几里得几何的核心定理之一，是平面几何的重要基础。勾股定理的证明吸引了很多数学家、物理学家、艺术家甚至美国总统来证明勾股定理。它的发现、证明和应用都包含着丰富的数学人文内涵。希望同学们课后查阅相关资料，了解数学发展史和数学家的故事，感受数学的价值和精神，欣赏数学之美。
新课程的三维目标(知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观)从三个维度构建了内涵丰富的目标体系。课程运作中的每一个目标都可以与这三个维度相关联，都应该在这三个维度中获得教育价值。
2.预设与生成在课堂教学中的动态调整。
案例二:年前，我在山东教育出版社七年级数学上册第70页遇到一道填空题:
例:设A、B、C分别代表三个不同质量的物体，如图所示，图①和图②中的两个天平处于平衡状态。为了使第三个天平(图③)处于平衡状态，“？”应该有对象b？
a
a
b
c
图①图②
a
c
图③
通过调查，只有少数学生填写了这个问题的答案。不知道能不能真的解决。我需要解释一下。
我解释的设计理念是这样的:
1.用数学公式表达图①和图②中平衡状态的指南(符号语言-数学语言)(实际问题数学化-数学建模)；
图①: 2a = c+B图②: a+b = C。
所以2a = (a+b)+B。
可用:a=2b，c=3b。
所以，a+c = 5b。
答案应该是5。
我觉得我严谨，有理有据。然而，当我让学生展示他们的想法时，出乎我的意料。
学生1这样想:
假设B = 1，A = 2，C = 3。所以，A+C = 5，答案应该是5。
学生使用特殊值方法解决问题。特值法虽然也是一种数学方法，但有很大的不确定性，学生不能只停留在这种肤浅的思维表面。面对教学提升过程中的教学“新起点”，我必须深化学生的思维，但我不能伤害他的自信心，我必须保护学生的思维成果。所以我立刻放弃了准备好的讲解方案，根据学生思考的结果进行调整。
我首先对学生1的方法进行了正面评价，肯定了这种思维方式在探索问题中的积极作用。当那些同样做的同学的自信溢于言表时，我接着问了这样一个问题:
“如何看待B = 1，A = 2，C = 3的假设？A、B、C可以假设为任意三个数吗？”
有同学不假思索马上回答:“可以是任意三个数字。”也有一部分学生持否定意见，大部分持怀疑态度。所有的学生都被这个问题吊足了胃口，于是我趁机指点:
“去看看。”
全班马上开始思考验证。大约3分钟后，学生们开始回答这个问题:
“b=2，a=3，c=4不可接受，图①和图②中的数量关系不能满足。”
“b=2，a=4，c=6。结果也要填5。”
“b=3，a=6，c=9，结果是一样的。”
“b=4，a=8，c=12，结果是一样的。”
“我发现只要A是B的两倍，C是B的三倍，就可以满足图1和图2中的数量关系，结果一定是5。”
这时，学生的思维已经从特殊上升到一般，也就是说，在这个过程中，学生的归纳推理得到了训练，对特殊值法有了更深刻的理解。用字母来表示发现定律，然后a=2b，c=3b。因此，a+c = 5b。答案应该填5。
我还没有达到目的，所以继续抛出问题:
“我们列举了很多数据，发现了这个结论。能不能从图1和图2的数量关系本身找到更简洁的方法？”学生们又陷入沉思。当我走访每一组时，“图①: 2A = C+B .图②: A+B = C .”出现，我知道学生的思维接近严格的逻辑推理。
我们是不是都觉得课堂教学设计具有“现实性”和“可能性”的特点，也就是说课堂教学设计方案与教学实施过程的关系不是“建筑图纸”和“施工过程”，也就是说，课堂教学过程不是简单实施教学设计方案的过程。
在课堂教学之初，我们可能会选择一个起点切入教学过程，但随着教学的发展和师生的多向互动，会形成许多基于不同学生发展状况和教学推进过程的教学“新起点”。因此，课堂教学设计的出发点不是唯一的，而是多样化的；不确定，但在预置中生成；默认情况下不是固定的，而是动态调整的。
3.对一堂数学习题课的思考
案例三:某老师的习题课，内容是“特殊四边形”。
老师设计了以下练习:
A
O
F
E
B
H
G
C
问题1(例题)依次连接四边形各边的中点。四边形是什么样的四边形？并证明你的结论。
问题2如右图所示。△ABC中，中心线BE和CF。
在O处，G和h分别是BO和CO的中点。
(1)验证:FG∨EH；
(2)验证:OF=CH。
O
F
A
E
C
B
D
问题3(展开练习)当原四边形有什么条件时，哪一点四边形是长方形、菱形、正方形？
问题4(作业)如右图所示。
DE是△ABC的中线，AF是边缘。
BC、DE和AF上的中线相交于点o .
(1)验证:AF和DE平分秋色；
(2)当△ABC有任意条件时，AF = DE。
(3)当△ABC有条件时，AF⊥DE.
F
G
E
H
D
C
B
A
老师让学生先思考第一个问题(例题)。老师指导学生画完观察后，进入证明教学。
师:如图，由条件E，F，G，h组成。
是每条边的中点，它可以与三角形的中点相关联。
线定理，所以连接BD，呃，
FG平行，等于BD，所以EH平行。
并且等于FG，所以四边形EFGH是平行四边形。接下来请写证明过程。
仅仅过了五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生觉得不难。但是让学生做问题2，只有少数学生能做到。问题3对学生来说比较难，有的模仿例题，画图观察，但是得不到矩形等特殊的四边形；有的先画一个矩形，但矩形的顶点并不是原来四边形各边的中点。
评价:本课习题的选取和设计不错，涵盖了三角形的中线定理、特殊四边形的性质和判断等数学知识。主要采用的方法有:(1)通过画(实验)、观察、猜测、证明来学习数学；(2)沟通条件与结论的联系，实现转化，添加辅助线；(3)由于习题具有一定的开放性和解法的多样性，思维也要有一定的深度和广度。
为什么学生不会解题？学生基础差是一个原因。教学有什么道理吗？个人感觉主要有三个问题:
(1)学生思维不成形。老师只讲了怎么做，没讲为什么。老师把所有的证明思路都讲出来，没有指导学生如何分析，剥夺了学生的思考空间；
(2)缺乏数学思想方法的归纳，未能揭示数学的本质。有一种情况，你会做这道题，不会做另一道；
(3)问题3为动态条件开放性问题。相对于1题，是逆向思维，对思维要求高，学生难以把握。教师缺乏必要的指导和教导。
修改:根据以上分析，1题的教学设计可以改进如下:
首先，针对例题证明教学的开始，提出了“系列化”思维问题:
(1)平行四边形的判定方法有哪些？
(2)这个问题能直接证明ef∨fg，eh = fg吗？在直接证明的情况下，通常考虑间接证明，即借助第三条线段将EH和FG的位置关系(平行)和数量关系联系起来。什么线段有这样的功能？
(3)既然E、F、G、H是各边的中点，你能联想到什么数学知识？
(4)有没有现成的三角形及其中线？如何构造？
设计意图:以上问题(1)激活知识；问题(2)隐含了加辅助线的必要性，渗透了间接解题的思维方法；问题(3)和(4)如何引导学生寻找辅助线。
其次，证明完成后，教师可以引导归纳:
我们称四边形ABCD为原四边形，称四边形EFGH为中点四边形，得到任意四边形的中点四边形都是平行四边形的结论；辅助线沟通条件与结论的联系，实现转化。原四边形的一条对角线传达了中点四边形的一组对边的位置和数量关系。这种交流来源于原四边形的对角线和以中点四边形的边为中线的两个三角形的男* * *边。由此我们可以感觉到，往往是图中的男性* * *元素在起着这种沟通的作用。所以在证明中一定要注意这个男* * *元素。
然后增加一个“过渡问题”:原四边形的条件是什么，其中点四边形是矩形？教师可以通过灵感来思考:
矩形是什么样的平行四边形？根据这道题的特点，你选择哪种方法？考虑直角的一组相邻边之间的位置关系，即中点四边形。随着一组相邻边的位置和数量关系的变化，原四边形的两条对角线的位置和数量关系也发生变化。
按照修改后的教学设计，明显是换课复读。大部分同学解题成功，几个问题有不同的证明。
启示:例题教学是习题课教学的关键。例题和习题的关系就是提纲关系，提纲就是开眼界。在例题教学中，教师要引导学生学会思考，揭示数学思想，总结解题方法和策略。您可以尝试以下方法:
(1)激活并检索与问题相关的数学知识。知识的激活和检索是因为主题信息，比如把知识和条件联系起来，把知识和结论联系起来。知识的激活和提取标志着思维的开始；
(2)在思维障碍处启发思维。思维源于问题，数学思维是一种隐性的心理活动。教师应尽量采取一定的形式突出思维过程，如设计相关的思维问题、为解决问题设置障碍、启发学生有效思考等。
(3)及时总结思维方法和解题策略。从方法论的角度看，数学习题教学的意义不在于习题本身，而在于数学思维方法和策略，数学思维方法和策略只是学习方法和策略的载体。所以有必要总结一下方法和策略。问题1的归纳总结解决了问题2，就是把问题1的凸四边形ABCD变成凹四边形ABOC，两个问题的本质是一样的。学生在解决问题3时，试图模仿问题1，这是一个解题策略的问题。问题1的条件是确定的，可以通过作图和观察来发现。问题3只有通过推理找到后才能得出。
4.注意课堂提问的艺术
案例1:公开课——《相似三角形的性质》。为了了解学生对相似三角形判断的掌握情况，提出了两个问题:
(1)什么是相似三角形？
(2)相似三角形有哪几种判断方法？
听了学生们流利而满意的回答，老师心满意足地开始了新课程教学。老师们对此怎么看？
C
B
A
其实学生只是回答了一些表面的记忆知识，并没有表现出是否真正理解。问题可以设计如下:
如图，在△ABC和△A？b？c？在，
(1)已知∠A=∠A？，添加一个合适的
c？
答？
b？
条件，这样△ABC∽△A？b？c？；
(2)已知AB/A？b？=BC/B？c？；添加一个合适的
条件，这样△ABC∽△A？b？c？。
要回答这样的问题，仅靠死记硬背是不行的。只有在真正掌握相似三角形判断的基础上，才能正确回答。这样的问题可以起到反思的作用，激活学生的思维，提高教学的有效性。
案例二:一堂关于菱形(即对角线相互垂直平分的四边形是菱形)判定定理的课，老师画完图后，有一段对话:
师:四边形ABCD中，AC和BD是垂直等分的吗？
B
C
A
D
生:对！
老师:你怎么知道？
生:这是已知的情况！
老师:所以四边形ABCD是菱形？
生:对！
师:证明三角形同余可以证明结论吗？
生:对！
老师们感觉如何？其实老师已经指出，全等三角形是用来证明四边形的边相等的，学生也没怎么思考就开始证明。所谓的“导学”变成了变相的“灌输”。虽然表面上看起来热闹，但实际上流于形式，不利于学生积极思考。你可以这样修改问题的设计:
你学会了哪些判断(1)钻石的方法？(1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.有四条等边的四边形是菱形)
(2)两种方法都可以吗？有什么办法证明边相等？(1.全等三角形的性质；2.垂直平分线的性质)
(3)选择哪种方法更简单？
案例三:“一元一次方程”教学片段；
老师:方程3x-3 =-6 (x-1)怎么解？
学生1:老师，我还没开始计算就看到了，x =1。
老师:不能光看。你得根据要求算出来。
生2:两边同时除以3，然后……(被老师打断)
老师:你的想法是对的，但是你以后要注意。刚学新知识的时候，记得按照课本的格式和要求去解，打好基础。
老师们感觉如何？老师提问时打断学生新奇的回答，只满足单一的标准答案，一味强调机械套用问题的步骤和“一般方法”。殊不知，这两位同学的回答真的很有创意。可惜这种偶尔闪现的创造性思维火花并没有被呵护，反而被老师的“标准格式”轻易否定，扼杀。事实上，即使学生的答案是错误的，教师也要耐心倾听，并给予鼓励性的评论，这不仅可以帮助学生纠正错误观念，还可以激励学生积极思考，激发学生的发散思维，从而培养学生的思维能力。
有的老师提问后留给学生思考的时间太少，学生没有时间深入思考，结果提问不答或答非所问；有些老师提问的范围太窄，大多数学生成了陪衬，被冷落。长此以往，被冷落的学生逐渐对提问失去兴趣，上课不再听老师讲课，学习失去动力。
关于课堂提问，我觉得要注意以下几个问题:
(1)提问时注意所有同学。提问内容的设计要由易到难，由浅入深，要分层次，对不同层次的学生提出不同的问题；
(2)提问要有思考的价值，课堂提问要选择一个“最优智能高度”来提问，也就是说大多数学生都能“跳得及”；
(3)提问的形式和方法要灵活多样。注重提问的角度变化，引导学生体验尝试和总结的过程，充分揭示灵性，展示个性，让学生获得自己探究的结果，体验成功的快乐，通过“过程”让“冰冷、无言”的数学知识变成“热思考”。