至今尚未解决的数学问题
第一，千禧年问题。
“千年问题”之一:P(多项式算法)对NP(非多项式算法)
在一个星期六的晚上，你参加了一个盛大的聚会。很尴尬，你想知道这个大厅里有没有你已经认识的人。你的主人建议你一定要认识坐在靠近甜点盘角落里的罗斯女士。你不需要一秒钟就能扫一眼那里，发现你的主人是对的。但是，如果没有这样的暗示，你必须环视整个大厅，一个一个地看每个人，看看有没有你认识的人。生成问题的解决方案通常比验证给定的解决方案花费更多的时间。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你，13、717、421这几个数可以写成两个更小的数的乘积，你可能不知道该不该相信他，但如果他告诉你可以因式分解成3607乘以3803，那么你就可以用袖珍计算器轻松验证这一点。无论我们是否熟练地编写了一个程序，确定一个答案是否可以用内部知识快速验证，或者在没有这种提示的情况下需要花费大量时间来解决，这被视为逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。是StephenCook在1971中陈述的。
“千千万问题”之二:霍奇猜想
二十世纪的数学家找到了一种研究复杂物体形状的有效方法。基本的想法是问我们可以在多大程度上通过将简单的几何积木与增加的维度粘合在一起来塑造一个给定的物体。这项技术变得如此有用，以至于可以用许多不同的方式推广；最后，它导致了一些强大的工具，这些工具使数学家在对他们在研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了很大的进步。不幸的是，在这种概括中，程序的几何起点变得模糊了。某种意义上，必须增加一些没有任何几何解释的部分。霍奇猜想断言，对于所谓的射影代数簇，一个叫做霍奇闭链的分量实际上是叫做代数闭链的几何分量的(有理线性)组合。
“千年之谜”之三:庞加莱猜想
如果我们在苹果表面周围拉伸橡皮筋，那么我们可以慢慢移动它，把它收缩成一个点，而不会弄断它或让它离开表面。另一方面，如果我们想象同样的橡胶带在轮胎胎面上以适当的方向拉伸，没有办法在不破坏橡胶带或轮胎胎面的情况下将其收缩到一点。我们说苹果表面是“单连通”的，但轮胎胎面不是。大约一百年前，庞加莱就知道二维球面在本质上可以用简单连通来表征，他提出了三维球面(四维空间中距离原点单位距离的所有点)的相应问题。这个问题立刻变得异常困难，从此数学家们一直在为之奋斗。
“千年难题”的第四部分:黎曼假设
有些数具有特殊的性质，不能用两个较小数的乘积来表示，例如2，3，5，7等。这样的数叫做质数；它们在纯数学及其应用中起着重要的作用。在所有自然数中，这种素数的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率与一个构造良好的所谓黎曼ζ函数z(s$)的行为密切相关。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这已经在最初的1，500，000，000个解决方案中得到验证。证明它适用于每一个有意义的解，将会揭开围绕素数分布的许多谜团。
“千百千百个谜题”之五:杨磨坊的存在与质量差距。
量子物理定律是为基本粒子世界建立的，就像牛顿经典力学定律是为宏观世界建立的一样。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现量子物理学揭示了基本粒子物理学和几何对象数学之间的惊人关系。基于Young-Mills方程的预言已经在世界各地实验室的以下高能实验中得到证实:Brockhaven、斯坦福、CERN和筑波。然而，他们描述重粒子并且数学上严格的方程没有已知解。特别是“质量间隙”假说，这个假说被大多数物理学家所证实，并被应用于解释夸克的不可见性，但它从来没有得到令人满意的数学证明。在这个问题上的进展需要在物理学和数学中引入基本的新概念。
第六个“千年难题”:Navier-Stokes方程的存在性和光滑性
起伏的波浪跟随我们的船蜿蜒穿过湖面，汹涌的气流跟随我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家确信，微风和湍流都可以通过理解纳维尔-斯托克斯方程的解来解释和预测。虽然这些方程写于19世纪，但我们对它们的了解仍然很少。挑战是在数学理论上取得实质性的进展，这样我们才能解开隐藏在纳维尔-斯托克斯方程中的谜团。
“千年之谜”之七:伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。
数学家们总是着迷于x2+y2=z2等代数方程的所有整数解的刻画。欧几里德曾经给出了这个方程的完整解，但是对于更复杂的方程，就变得异常困难。事实上，作为余。V.Matiyasevich指出，希尔伯特的第十个问题是无解的，即没有一个通用的方法来确定这样的方法是否有整数解。当解是阿贝尔簇的一个点时，贝赫和斯韦诺顿-戴尔猜想有理点群的大小与在点s=1附近的相关Zeta函数z(s)的行为有关。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，有无穷多个有理点(解)；反之，如果z(1)不等于0，则这样的点只有有限个。
二、当今数学界的前沿问题。
数学前沿问题简介
20世纪数学研究简评
记者:林先生你好。首先非常感谢您在百忙之中抽出时间接受本次采访，向全国中小学教师介绍数学前沿的一些基本信息。科学研究已经进入了新世纪的门槛。我们可以看到，各个学科一方面在回顾自己的发展历程，另一方面也在展望自己的发展前景。你从1956进入中科院，正式从事数学研究。到现在已经近半个世纪了。在这半个世纪里，你一直奋斗在数学研究的最前沿。基于你这么多年对数学的研究，可以回顾一下20世纪数学的发展历程。这门课程期间在数学研究方面取得了哪些重大进展和成果？
林群:根据你所说，从数学的角度来看，上个世纪的数学必须归功于38岁的德国数学家希尔伯特(1862-1943)在2000年8月6日于巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上发表的著名著作《数学问题》。根据过去特别是十九世纪数学研究的成就和发展趋势，他提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称为希尔伯特问题。这篇演讲成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪数学的发展翻开了光辉的一页。这23道题中，前6道题与数学基础有关，其他17道题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变量理论、微分方程、变分等领域。
1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论(其实庞加莱和洛伦兹两位数学家也走到了相对论的门口)，1907年，他发现狭义相对论在物理学的其他领域都非常成功，除了万有引力的问题。为了解决这一矛盾，爱因斯坦转向了广义相对论的研究，并很快建立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学中遇到的困难使他多年来进展甚微。大约1911年前，爱因斯坦终于发现引力场与空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。所以爱因斯坦使用的数学工具是非欧几何。1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架和张量分析的语言完成了广义相对论。
更重要的是，德国女数学家艾米·诺特1882 ~ 1935发表的论文《环贝里切中的理想》标志着抽象代数现代化的开始。她教我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去思考:同构、理想、算子环等等。
在数学方面还有许多其他伟大的成就。说句偷懒的话，20世纪近50位数学领域菲尔兹奖获得者的工作是数学内部的伟大成就。但从推动社会发展的角度来看，计算机算法研究相关的数学可能更有影响力。这种研究发生在第二次世界大战前后。有三个数学家(图灵、哥德尔、冯·诺依曼)，不是工程师。因为他们在计算机的诞生、设计和发展中起到了奠基和指导作用，被列入20世纪“百位明星”名单。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家(坎特罗维奇和纳什)也与算法研究(或军事数学)有关，后者刚刚获得一项奥斯卡奖。中国第一个国家最高科学技术奖(不是数学奖)获得者吴文俊的工作也包括算法的研究。中国十大科技进展中曾经有一篇数学家堵丁柱的作品，也是和算法有关。值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。
与算法研究(或军事数学)相关的，还有学习、密码学和大规模科学工程计算。我怎么会有一种模糊的感觉(被吴文俊感染了？)，似乎在二十世纪，以算法为中心的数学研究对外界、科技和军事都产生了相当直接的影响。这个世纪(信息、材料、生物)还会这样吗？等着瞧！
二、数学研究领域的主要问题
记者:刚才林院士为我们描绘了20世纪数学研究的图景。应该说，在20世纪，数学的经典分支和新兴分支都取得了长足的进步。但是，我们也看到，在数学研究的过程中，有很多遗憾，很多问题还没有解决，或者说还没有完美解决。林老师，您认为数学研究领域存在哪些主要问题？
林群:至于难题，应该说需要很大的决心才能解决。我觉得我们科研人员可以做好自己的本职工作。上个世纪没有解决的难题，本世纪可能也解决不了。应该说，二十世纪是数学大发展的世纪。报道称，数学中的许多重要问题都得到了解决，如费马大定理的证明和有限单群分类的完成，从而使数学的基础理论得到了前所未有的发展。计算机的出现是20世纪数学发展的一大成就，极大地促进了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回顾20世纪数学的发展，正如你所说，数学家们对20世纪最伟大的数学大师大卫深怀感激。希尔伯特。正如我们在开头谈到的，希尔伯特在1900年8月8日于巴黎举行的第二届世界数学家大会的著名演讲中提出了23个数学问题。希尔伯特问题在过去的百年里启发了数学家的智慧，指引了数学的方向，对数学发展的影响和推动是巨大的，不可估量的。
以希尔伯特为榜样，当代世界许多著名数学家在过去几年中整理并提出了新的数学问题，希望为新世纪数学的发展指明方向。
数学界也喜欢制造一些新闻效应。2000年初，美国克莱数学研究所科学顾问委员会评选出7道“千年奖题”，克莱数学研究所董事会决定设立700万美元的大奖基金，每道“千年奖题”可奖励100万美元。克莱数学所“千年奖问题”的评选目的不一定是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是着眼于对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求并期望解决的重大问题。
2000年5月24日，千年数学大会在著名的法兰西学院召开。会上，1998费尔茨奖获得者高尔斯以“数学的重要性”为题发表了演讲。后来，泰特和阿提亚宣布并介绍了这七个“千年奖问题”。克莱数学研究所还邀请了相关研究领域的专家对每个问题进行详细阐述。克莱数学学院对“千年奖问题”的解答和颁奖都做了严格的规定。每一个“千年奖问题”都不是解决了就能马上获奖的。任何解决方案都必须在世界知名的数学杂志上发表两年，并得到数学界的认可，才能由克莱数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万奖金。
这七个“千年奖问题”分别是:NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳维尔-斯托克斯方程、BSD(伯奇和斯温纳顿)。
“千年奖”自发行以来，在数学界产生了强烈的反响。这些问题都是关于数学基础理论的，但这些问题的解决将极大地促进数学理论的发展和应用(第一个问题是计算机算法的一个基础理论)。了解和研究“千年奖”问题已成为数学界的一个热点。包括中国数学家在内的许多国家都在组织联合研究。
三、数学研究领域的重大问题(续)
数学领域的其他问题可以说是层出不穷。根据你提供的信息，至少有以下几种简单的:
首先是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫是德国数学家，出生于1690年。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被自身整除的数)之和。比如6 = 3+3，12 = 5+7等等。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了如下猜想:
(a)任意>偶数=6可以表示为两个奇素数之和。
(& lt-emo & amp；b)-& gt；& lt-endemo->；任何一个> 9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他认为这个猜想是正确的，但他无法证明。描述这么简单的问题，即使是欧拉这样的顶尖数学家也无法证明，这个猜想引起了很多数学家的关注。自从哥德巴赫提出这个猜想以来，许多数学家一直在试图攻克它，但都没有成功。当然也有人做过一些具体的验证工作，比如:6 = 3+3，8 = 3+5，10 = 5+5 = 3+7，12 = 5+7，14 = 7+7 = 3+168。有人把33×108以内和大于6的偶数一一查了一遍，哥德巴赫猜想(a)成立。但是严格的数学证明需要数学家的努力。
从那以后，这个著名的数学问题吸引了全世界成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明。哥德巴赫猜想也因此成为数学皇冠上一颗高不可攀的“明珠”。直到20世纪20年代，人们才开始接近它。1920年，挪威数学家布觉用一种古老的筛选方法证明并得出结论:每一个大于36的偶数都可以表示为(9+9)。这种缩小包围圈的方法非常有用，于是科学家们从(9+9)开始逐渐减少每个数的质因数个数，直到每个数都是质数，从而证明了“哥德巴赫猜想”。
目前最好的结果是由我国数学家陈景润在1966中证明的，称为陈定理。即“任何足够大的偶数都是一个素数和一个自然数之和，而后者只是两个素数的乘积。”这个结论通常被称为大偶数，可以表示为“1+2”。
在陈景润之前，偶数的进展可以表示为S个素数和T个素数的乘积之和(简称“s+t”问题)如下:
1920，挪威的布伦证明了“9+9”。
1924年，德国的拉德马赫证明了“7+7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。
1937年，意大利的Ricei先后证明了“5+7”、“4+9”、“3+15”、“2+366”。
1938，苏联的布赫？Byxwrao证明了“5+5”。
1940，苏联的布赫？Byxwrao证明了“4+4”。
1948年，匈牙利的仁义证明了“1+c”，其中c为大自然数。
1956年，中国的王元证明了“3+4”。
1957年，中国王元先后证明了“3+3”和“2+3”。
1962年，中国的潘承东和苏联的巴尔巴证明了“1+5”，不久，潘承东和王元证明了“1+4”。
1965，苏联的布赫？Xi·泰伯(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)以及意大利人邦比耶里证明了“1+3”。
1966年，中国陈景润证明了“1+2”。
谁会最终攻克“1+1”的难题？现在还无法预测。然而，王元最近发表演讲，说英国数学家正在绕道讨论它。希望有希望。
图1伟大的数学家欧拉
图2年轻人的榜样，
中国著名数学家陈景润
图3著名数学家王元
图4法国数学家吠陀
图6法国数学家达朗贝尔
二是连续统之谜。
(注:在本文中，Allaf标记为alf(0)，Allaf标记为alf(1)，以此类推...)
由于alf(0)是一个无限基数，Allaf是一个不同于有限运算的神奇运算，所以下面的结果就不足为奇了:
alf(0)+ 1 = alf(0)
alf(0) + n = alf(0)
alf(0) + alf(0) = alf(0)
alf(0) n = alf(0)
阿尔夫(0)阿尔夫(0) =阿尔夫(0)
Alf(0)是自然数集合的基数。一个无限基数，只要是可数集合，它的基数一定是alf(0)。从可序性可以知道，整数集和有理数集的基数是alf(0)；或者如果它们的基数是alf(0)，则它们是可数集。但是不可数的实数集(可以用康托尘线反证)推导出它比alf(0)有更大的基数。乘法运算不能突破alf(0)，但幂集可以突破:= alf(1)。可以证明实数集的基数卡(R) = alf(1)。此外，阿拉夫的“家庭”爆发了:
= alf(2)；= alf(3)；……
alf(2)的意义是什么？人们努力思考，得到空间中所有曲线的数目。但接下来的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今也没能搞清楚。此外，还有一个令人费解的连续统之谜:“在alf(0)和alf(1)之间还有另一个基数吗？”
公元1878年，康托尔提出了alf(0)和alf(1)之间不存在其他基数的猜想。但当时康托尔本人无法证实这一点。
公元1900年，在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，德国哥廷根大学教授希尔伯特提出了20世纪需要解决的23个世界著名的数学问题，连续统假说位列第一。但是，这个问题的最终结果完全出乎意料。
公元1938年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假说永远不会导致矛盾”，也就是说人类不可能找出连续统假说的错在哪里。1963年，美国数学家科恩证明了“连续统假说是独立的”，也就是说，不可能证明连续统假说。
哥德尔的工作如此重要，以至于冯·诺依曼受他的影响设计了计算机。
用四种颜色着色；然后推进到50个国家。看来这个进度还是很慢的。电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯在美国伊利诺伊大学两台不同的计算机上，花费了1200个小时，做出了1000亿次判断，最终完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明在世界上引起了轰动。它不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且可能成为数学史上一系列新思想的起点。然而，许多数学家并不满足于计算机所取得的成就，他们仍然在寻找一种简单明了的书面证明方法。
第四是几何三大问题。
平面几何作图仅限于直尺和圆规，这里所谓的直尺是指一种只能画直线而没有刻度的尺子。当然，用直尺和圆规可以做出很多种图形，但有些图形，比如正七边形和正九边形，是做不出来的。有些问题看似简单，其实真的很难解。这些问题中最著名的就是所谓的三大问题。
几何学中的三个主要问题是:
1.把圆变成正方形:找一个正方形，使其面积等于已知的圆；
2.把任意一个角分成三等份；
3.双立方体:找到一个立方体，使其体积是已知立方体的两倍。
圆和正方形都是常见的几何图形，但如何做出与已知圆面积相同的正方形？如果已知一个圆的半径为1，其面积为π，那么把圆变成正方形的问题就相当于求一个面积为π的正方形，也就是用尺子做一条线段(或者π的一条线段)。
三大问题中的第二个是平分一个角的问题。对于某些角度来说，分成三份并不难，但是是不是所有的角度都能分成三份呢？例如，如果可以作出的角可以分成三等份，那么正18多边形和正九边形也可以作出(注:圆内正八边形的每条边的圆周角为)。实际上，角三等分的问题是由寻找正多边形的问题引起的。
第三个问题是立方。埃拉托塞尼(公元前276年~公元前65438年+公元前095年)曾经描述过一个神话，一个先知在得到神谕的时候，不得不把立方体祭坛的尺寸扩大一倍。有些人主张将每边的长度增加一倍，但我们都知道这是错误的，因为尺寸已经是原来的八倍了。
这些问题困扰了数学家1000多年，但实际上，这三个问题都不是一把尺子和指南针通过有限的步骤就能解决的。
笛卡尔在1637年创立解析几何后，很多几何问题都可以转化为代数问题来研究。在1837中，Wantzel给出了一个证明:用直尺画任何角和立方体都是不可能的。在1882中，林德曼还证明了π的超越性(即π不是任何整数系数倍数的根)，圆变方的不可能性成立。
动词 （verb的缩写）数学研究中的主要问题(续)
第五个是费马大定理。
6月24日，1993，世界公认的权威报纸《纽约时报》刊登了一则关于数学问题求解的新闻。新闻的标题是“在古老的数学困境中，终于有人称“我找到了”。《泰晤士报》第一版的开篇文章附了一张长头发、身穿中世纪欧洲长袍的男子的照片。这个古人就是法国数学家皮耶·德·费玛(请参阅费马传记的附录)。费马是17世纪最杰出的数学家之一。他在数学的很多领域都做出了巨大的贡献，因为他的职业是职业律师。为了表彰他的数学造诣，世人称他为“业余王子”。360多年前的一天，费马正在读一本古希腊数学家迪奥芬多斯的数学书，突然心血来潮，在书页的空白处写下了一个看似简单的定理。这个定理的内容是关于一个方程的正整数解。当n=2时，就是众所周知的勾股定理(中国古代也称勾股定理):，其中Z代表直角三角形的斜边，X和Y是它的两个分支，即直角三角形斜边的平方等于它的两个分支的平方之和。当然，这个方程有整数解(其实有很多)，比如x=3，Y = x=6、y=8、z = 10；X=5，y=12，z = 13等等。费马声称当n & gt2，找不到满意的整数解，比如一个方程找不到整数解。
当时，费马没有解释原因。他只是留下了这段叙述，说他找到了证明这个定理的奇妙方法，但页面上没有足够的空间写下来。始作俑者费马就这样留下了一个永恒的问题。300多年来，无数数学家试图解决这个问题，却徒劳无功。这个被称为世纪难题的费马大定理，成了数学界的一大心病，极其渴望解决。
19世纪，法国弗朗西斯数学研究所向1815和1860两次解决这个问题的任何人提供一枚金牌和300法郎。不幸的是，没有人得到奖励。德国数学家沃尔夫斯凯尔(P？Wolfskehl)在1908中提供10万马克给能证明费马大定理正确的人，有效期为100年。其间，由于大萧条，奖金数额已贬值至7500马克，但仍吸引了不少“数学白痴”。
20世纪计算机发展以后，很多数学家都可以证明这个定理在n很大的情况下成立。1983年，计算机专家斯洛文尼亚斯基用计算机运行了5782秒，证明了n为286243-1时费马大定理是正确的(注286243-1是一个天文数字，约25960位数)。
尽管如此，数学家们还没有找到一个普适的证明。然而，这个300年的数学悬案终于被解决了。英国数学家安德鲁·怀尔斯解决了这个数学问题。事实上，威利斯用二十世纪过去三十年抽象数学发展的成果证明了这一点。
20世纪50年代，日本数学家谷山丰(Yutaka Taniyama)首先提出了一个关于椭圆曲率的猜想，这个猜想后来被另一位数学家岛村五郎发扬光大。当时谁也没想到这个猜想和费马大定理有什么关系。上世纪80年代，德国数学家弗雷将谷山裕太猜想与费马大定理联系起来，威利斯所做的就是根据这种联系证明谷山裕太猜想的一种形式是正确的，进而推导出费马大定理也是正确的。这个结论是威利斯于6月21，1993在英国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式发表的。这一报道立刻震惊了整个数学界，就连数学门外的公众都发出了无限的关注。然而，威利斯的证明立即被发现有一些缺陷，于是威利斯和他的学生又花了14个月的时间来纠正它。1994年9月19他们终于交出了一份完整无瑕的方案，数学的噩梦终于结束了。1997年6月，威利斯在德国哥廷根大学获得了沃尔夫斯凯尔奖。当时10万克约为200万美元，而威利斯收到时也只值5万美元左右，但威利斯已被载入史书，永垂不朽。
为了证明费马大定理是正确的(即对于n & gt3无正整数解)，只需证明sum (p为奇素数)无整数解即可。
六、数学研究领域的重大问题(续)
六是七桥问题(一笔问题)
欧拉在1736访问哥尼斯堡和普鲁士(今俄罗斯加里宁格勒)时，发现当地市民正在从事一项非常有趣的消遣活动。在哥尼斯堡，有一条名为Pregel的河流贯穿其中，河上建有七座桥，如图所示:
这种有趣的消遣是在星期六步行穿过所有七座桥。每座桥只能通过一次，起点和终点必须在同一个地方。欧拉把每块土地看作一个点，连接两块土地的桥梁用一条线表示，得到下图:
后来推断这样的举动是不可能的。他的论点是这样的:除了起点，一个人每从一座桥进入一块地(或点)，他(或她)也从另一座桥离开这个点。所以每经过一个点，就有两座桥(或线)被计算在内，从起点离开的线和最终返回起点的线也被计算在内，所以连接每块地和其他地的桥的数量必须是偶数。七座桥形成的图都不含偶数，所以上述任务是不可能的。关于数学题我要说的大概就这么多了。