椭圆周长的近似公式是怎么来的？

学术研究

关晓鹤写了很多作品，近20部，但去世前只出版了一本《衍生算法》(1674)。他去世后，弟子们整理了他的手稿，发表了《包容算法》，其余为未发表的手稿。从这些著作的写作时间来看，小河的数学研究工作可以分为两个阶段，其数学著作基本在65438年。

1.“对位书法”和代数符号被引入创造“对位表演”。

这是关晓鹤最大的贡献。主要记载在他的著作《微分算法》(1674)和《三册》中的《解题方法》、《解题方法》(1683)。在《微分算法》中，高桥分析回答了日本数学家和之泽口(据悉和之泽口是高桥的弟子)撰写的《古今算法札记》(1671)中的15“余题”。但书中只有结果，省略了演技的描述，所以当时的日本人普遍看不懂他的回答。于是有人指责关晓鹤胡编乱造。1680年，日本数学家乔治·依平写了《算法导论》，指出了算法解中的“错误”，并给予了“纠正”。作为对这类问题的回答，萧何的弟子谦弘谦部写了一篇算法的解读(650

萧何还在《三曲班》中阐述了书法和表演段落的技法，这是三部作品的总称，分别是《解题方法》、《解隐法》(1685)、《解隐法》(1683)。看问题只会加减乘除。这也是三部作品各自名字的由来。解题方法中首次出现了“侧书”公式。所谓侧体书法，就是在一条短竖线旁边写下字来表示数量关系的一种方式，如“A加B”、“A减B”、“A”

乘法B分别写成| A | B、| A | B和| A | B；A 2，A 3，A 4，…

把“A-B”写成“B | A”。

萧何用上面那套符号来处理文字方程，比如方程。

a-b×X+c×××x2 ++ d×X3 = 0

表示为

甲方|丙方|丁方.

如果一个方程有两个未知数，例如

3y3+5xy2+8x2y+4x3=0，

只要用“A”代替Y，整个方程就表示为

因为“书法旁的书法”可以表示含有两个或两个以上未知数的方程，所以可以消去，这就使萧何能够用消去法解方程，从而得到了他的行列式理论。这些内容集中体现在解题方法上。书中介绍了书法旁基于书法的一系列算法，他称之为“天元分期”，后扩展为“回归本源”。梁弼也被他的师父内藤正树(1703—1766，“关柳”，数学家)命将“归源”改名为“点通灵”。点通灵是用上述书法对公式变形、解方程(组)、行列式等问题的系统学习，内容相当可观。

2.提出代数方程变换理论和行列式理论。

本研究着重于解决问题的方法。书中介绍的方程变换方法有:省略、省略、还原、叠加、包含等。将一个方程相乘，再从另一个方程中减去，这叫做省略。如果一个方程有一个公因子，就叫“省”。当每一项都有相同的数字系数(他称之为“段数”)时，他称之为“约”；当两个方程不含未知量X的奇次幂时，换元法会用x2作为未知量来简化方程，这就是所谓的“收缩”。“重叠”是指两个方程用适当的公式相乘，然后相减，去掉一些项；“围合”就是把同次幂的系数组合起来，也就是把相近的项合并起来。孝顺的表现在这些方法中表现的很明显。

他用这些方法解方程的基本思路是，通过上述变换，从两个二元方程中消去一个未知数，得到一元方程，然后求解这个一元方程。首先，他用重叠和包围的方法，由原来的两个方程导出了关于X的N ^ N-1次方程。这些方程都是用标准形式写的，即方程的右边是0，左边是按照x的升序幂排列的，他把这N个方程叫做“变换”。于是求解原方程组的问题就转化为求解由变换组成的方程组。将X的幂从这个方程组的每一项中去掉，得到原位次中每个系数(y的多项式或单项式)的行列式，使这个行列式等于0，用这个行列式表示的关于y的方程就是将X从原方程组中消去得到的一元方程。这样就把原方程组的求解问题转化为这个一元方程的求解问题。

为了简化和求解这个含有行列式的方程，他对行列式进行了变换，由此导出了他的行列式理论。他在书中介绍了两种计算行列式值的方法:分步交叉乘法和交叉斜乘法。

逐公式乘法的基本思想是将行列式的每一行乘以一个合适的公式，然后将每一列的元素相加，直到除第一列(即系数x0对应的列)外，其他列的元素之和为零。此时第一列的元素之和就是行列式的值。

当行列式的阶数较高时，显然不容易看到上面几行要相乘的因子。因此，他在书中介绍了另一种计算行列式的方法，即交集斜乘法。但他并没有说明这种方法的基础，只是给出了2-5阶行列式展开的规则，并用图表说明。从这些解释中可以看出，他的交集斜乘法，大致相当于今天中学里介绍的对角线法或其延伸。

西方对行列式的研究最早出现在1693年G.W .莱布尼茨写给G.F.A. L'Hospital的信中，小黑的解压定律完成于1683年。因此，对孝道的研究至少比西方早10年。西方最早发表的关于行列式研究的著作是G·克莱姆的《分析代数方程组(65，438+0750)》一书，这本书比解题方法更好。

3.研究了数字系数的高次方程，找到了负根和虚根，提出了判别式和多项式函数的导函数的多项式等价的概念。

关晓鹤的成就主要包含在《解隐题法》、《组方》和《七书集》中，分别是《组变法》(1685)、《辨题术法》(1685)和《释病法》。

解隐问题的方法中有两种理解数值系数高次方程的近似方法，转平方根法和平方根公式，分别等价于霍纳法和牛顿迭代法。小黑将这些解应用于字母系数方程f(x)= A0+a 1x+a2 x2+…+Anxn = 0。形式上F′(x)= a 1+2A2x+…+Nanxn-1，即得到多项式函数f(x)的导函数。此外，他还考察了只有虚根的方程(他称之为“无商公式”)和只有负根的方程(他称之为“负根”)本文研究了方程正负根存在的条件。在《辨别问题的方法》和《解释疾病原因的方法》中，他把方程“无商”和“商负”的问题归为“疾病”，并利用自己对数值系数方程的研究，介绍了改变“量”和纠正“疾病”的方法。

对于非商公式f(x) = 0，他主要是改变方程的系数，使其判别式取某个值，使方程有一个正根或负根。在这个变换中，得到了条件f′(x)= a 1+2A2x+…+Nanxn-1。

4.中国的“三差法”推广到一般差分法，研究数论问题，发明“化零术”。

这些成果都集中在算法百科全书里。萧何去世后，他的手稿全部传给了他的弟子荒木村上(1640-1718)。据说村上和萧何原本是高原同学，后来他拜萧何为师，所以得到了，因为他们在同学中的道德水准很高。我把整理萧何手稿的工作交给了我的弟子大高佑昌。大高邮长从手稿中抽出几篇文章，编辑成《压缩算法》，由存英作序，发表于1712。与此相比，大高邮长在剪辑时并没有太大的改动。这正是萧何手稿中“诸约”的方法。

(1)微分法这是一种从X = X1，y2，…，yn的两组数据中确定函数Y = A1x+A2X2+…+Anxn的系数的方法，相当于西方数学中的有限差分法。

产品。

如果所有的平积相等，则A3 = A4 = … = 0，则A2 =δz 1，A1 = z1-A2X1可供选择，差分法称为“一次乘法”。如果所有的垂直乘积相等，A4 = A5 = …就是U = a1+a2X在X = Xi的值，然后A2和a1的值可以通过“一次相乘”得到，以此类推。

关晓鹤称系数a1，a2，...，一种“差异”，而发现这些差异就是“呼唤差异”。上述寻找差异的方法是他对差异的呼唤。

对于n = 2，3，4的情况，求f (x) = a1x+a2x2+…+anxn的系数的问题，在我国的数学中早已解决。萧何的贡献主要在于将这种“三差法”推广到求n为任意自然数的差的一般方法。

(2)收缩叠加。他的“契约”包括相互契约、逐契约、逐契约、逐契约、逐契约、逐契约、零契约、逐契约等。其中“逐约”就是给n个整数a1，a2，…，an，确定它们各自的约数a'1。他还把“以减为减”称为“相互减”。“齐次归约”就是求整数的最小公倍数。“泛归约”就是将这n个整数除以整数的最大公约数。“泛减”就是求数列A+Ar+Ar2+…“减损”就是求数列A-Ar。

“化零术”是小河的发明。这是一种确定无限非循环小数的近似分数的方法。在书中，他举例说明了降零技术，比如一个边长为1英尺的正方形。

取p1 = 1和q1 = 1，按以下规则确定以下pn和qn。

n，对应的pn依次为1，3，4，6，7，9，10，113，14，16，17。38, 40, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 57, 58.所以有。

都出现在上面的大概分数一栏。

在《环抱的算法》最后一卷(甄卷)中，他用的就是这种自己发明的降零术。

给，但他是怎么得到的？这一点没有流传下来。小荷的这部作品给出了一种推导方法。

Encompassion算法的第一卷(元卷)也描述了“堆叠”的问题，即寻找

而sp = 1p+2p+3p+…+NP(他称之为“平方叠积”)和sum。

对于方堆积，他用差分的方法计算出P = 1，2，3，…，11的情况，进而得出方堆积的通式:

他还给出了递减堆积积的一般公式:

值得注意的是，B2 b 1、...，Bn，...在平方叠加中公式与伯努利数相同，而西方第一本介绍伯努利数并给出上述公式的书是数学家雅各布·伯努利的《猜想》(Arsconj-Etandi，1765438)。

(3)在数论方面，他还研究了技巧，即解同余群b1x≡a1(mod m1)，b2x≡a2(mod m2)，…，BNX ≡ An。后四个问题都是b1，b2，…，bn不全是1的情况，利用归约技巧和剩余一个技巧给出了求解方法。

滑管术的名称和问题形式在我国宋代杨辉的著作《杨辉算法》中有所描述，但杨辉求解的同余公式集仅局限于B1 = B2 = … = BN = 1，m1，m2，…，mn互为素数的情况，且由于引用的例子涉及到小何从《杨辉算法》中得到了“加特林术”的名称和问题形式， 但由于他发明了“剩余技术”，引入了“一一”和“互约”的概念，所以对于m1，m2，…，mn不完全，b1，b2，…，bn不完全的情况，他没有得到1。

5.给出了曲线长度和立体求积的一些近似方法。

这些研究主要集中在解题方法、求积和球曲变形的求解上，其中创新性的成果在于他的椭圆周长和阿基米德螺线长度的近似算法，解决了圆环、圆弧圆环和十字圆环的近似求积问题。

(1)椭圆周长的近似算法首次出现在椭圆周长和阿基米德螺线的求解隐问题的方法中。他把椭圆看成是从不同角度看圆时得到的图形，得出了椭圆周长L的近似计算公式:

L2 = π 2(大直径×小直径)+4×(大直径-小直径)2。

这本书还解决了“背”的问题，即所谓“形”的长度的求法问题。如图1，将扇形的OAB分成半径为OC1，OC2，…，OCn-1 n的等份，然后用半径OA作为C'1。得到圆弧通过C′k点的交点Dk(0≤k≤n，点O为D0，点A为Dn)，Dk点的轨迹为“之”字形。可见之字形是阿基米德螺线。他给出了计算曲折长度的公式(后面):

书中没有解释他是如何得到这个公式的。

(2)环面、弧环面和交叉环面的体积所谓环面，是圆在其平面上绕与圆无公共点的直线旋转一周所得到的立体；弧形环是弧形环绕一条与弧形环在其平面上无公共点的直线旋转得到的立体。关晓鹤设想，如果将环形圈截平拉直，就会变成一个圆柱体，那么环形圈的体积就等于这个截面(圆形面)的面积乘以这个圆柱体的高度(也就是环形圈“中心圆”的周长)。他的计算假设环形的环被截断和拉直。他用弓的面积乘以弧环的中心周长作为弧环的体积。这里的中心圆是指圆(或弓)在旋转过程中，圆(或弓)表面的一个特定点所形成的圆，这个特定点就是圆(或弓)的重心。可见，小黑已经有了“重心”的概念。他计算环和弧环体积的方法与帕波斯的方法等价。

所谓“十字环”，是指由两个圆柱体和一个圆环构成的立体。如图2所示，两个圆柱体的轴线相互垂直，都经过圆环的重心，圆柱体被圆环的表面所切割，两个圆柱体的底半径等于圆环的横截面半径。这个问题最早出现在米和成对两个记录(1653)的引用中。

另外，《一个球体的变形的解法》Que也是一本主要研究求积问题的书。但这本书涉及的多是Que Ball(用平面切割球体得到)、Que Cylinder(用平面切割圆柱体得到)、Arc Cone(底部为弧形的圆锥体)、Arc Platform(底部为弧形的平台)等复杂的实体。他通过使这些立体变形，给出了这些立体的近似求积方法。他给这本书命名。

6.建立了圆理论和角理论，解决了弧长、球体体积和正多边形等问题。

“圆形”一词在后世数学家中常用来指求解曲线的长度、图形(平面图形或曲面图形)的面积和立体的体积的方法。而小和创立的圆形，仅限于圆和球体的计算。他对循环性的研究主要集中在《包络算法》第4卷(真卷)。由三部分组成:求圆周率的方法，求矢弦的方法，求竖圆积率的方法(竖圆就是球)。他找到了一个圆的正215、216、217边的周长A、B、C，并在上面加了一个数。

作为圆周的近似，我们可以得到圆周率小数点后11位数，然后用

他的“寻弧”是从弦a、矢量c和直径d求弧长s的方法，他给出了公式:

其中A0，A1，A2，A3，A4，A5由C = C0，c1，c2，c3，c4，c5和对应的S = S0，s1，s2，s3，s4，s5确定。

如果上述插值公式中没有分母(d-c) I (I = 1，2，…，5)，则与牛顿插值公式完全相同。这个公式和牛顿插值公式原理一样。牛顿的插值公式是由I .牛顿发现的，w .琼斯得到牛顿的允许，写出了微分法(Method US)。1711)在国际上发表，而Encompassion算法在1709写成序言和后记，在1712发表，所以可以说关晓鹤和牛顿几乎同时独立发现了这个公式。

对于球的体积，他提出了“求竖圆积率”的技巧。首先将球切成50个平面平行的切片，将每个切片看作一个底部靠近球中心的圆柱体，求这50个“圆柱体”的体积之和。然后把每个切片看成一个以它的另一个底为底的圆柱体，求这50个“圆柱体”的体积之和，再求这两个体积之和的平均值A，作为这50个切片的总体积。同样，把球切成100和200片，如上分别求出这100和200片的总体积B和C，用加法求出。

把它当成一个球体的体积。虽然在这个过程中使用化归的条件并不充分，但在他的除法-变换-求和的求积方法中，积分的思想已经开始萌芽。

“测角法”是建立正多边形的边长与其外接圆半径、边长与其内切圆半径之间关系的一种方法。他给出了3-20的正多边形的这些关系，而以前的求和器只算出了边数不超过15的正多边形的上述关系。另外，萧何在推导过程中使用的一些几何定理都是凭直觉得到的。

7.研究了幻方问题，用同余公式解决了日本古代的“立继子女”问题。

《七书》中的方阵法和圆积法给出了幻方(他称之为“方阵”)和圆积的一般构造方法，即按照一定的规则改变n-2阶幻方的每一个数，相应地将其作为“核心”，在外圆上按照一定的规则填入4n-4个数，就可以得到n阶幻方。这种方法类似于18。

“继子编制”是日本广为流传的古老问题。上面说一个贵族家庭有30个孩子，其中15是前妻生的，15是前妻生的。要在这30个孩子中选一个继承家业，让30个孩子围成一个圈，从一个孩子开始倒数，让65438。数到20的时候，让20对应的孩子出圈。如果倒数到十这个整数，就把这个数对应的孩子拉出圈子，直到剩下最后一个孩子，这个孩子就继承家业了。如果前妻只有一个儿子，前妻有14个儿子，那么你可以从前妻的儿子算起，让这个孩子成为“继子”。

萧何把这个问题理论化，用算符方法中的同余公式证明。

除了上述著作，萧何还写了很多数学方面的书，如《角法与线段图》、《百问百答》、《不要怕改答案》等。在天文历法方面，他也有不少著作，如《编年历四卷》、《编年历立法》(1681)。

前期数学对关晓鹤的影响

从上面的介绍可以看出，关晓鹤的一些数学研究源于他之前的求和著作中的“遗产”。他的第一部数学著作《导数算法》是对泽口一《古今算法志》(1671)中遗留问题的解答。还回答了Kamura Jide (65438+)的《算法的可疑抄袭》。至今仍有相关手稿，其中一些成为关晓鹤研究的起点。比如算法缺一复制中的第45题(“截锥”)引出他对椭圆的研究。41的问题(“利加罗体积”，即在锥形杆上绕一根绳子求绳子的长度)引出了他对背部问题的研究。他的一些重要的思维方法也是从这些作品中获得的。比如《古今算法》一书中，泽口一通过变换方程系数避免了有两个正根的情况，这启发了关晓鹤。进而得到了求多项式函数最大值和最小值的“最佳平方方法”。在问题和技巧的论证方法上，他采用了逐次逼近法来解决“破题技巧”(即“由远及近找题”的方法，他认为这不是最恰当的方法)，这可能是取自“不要害怕改变算法”

但他的主要数学成就在他之前的求和著作中找不到，这就形成了他的研究与之前求和数学家的研究之间的一个“断层”。有人认为是中国数学和西方数学的影响弥补了这个断层。根据日本武林史书《武林外传》(1738)《关信助算术轶闻》中的一段记载，萧何估计南方某寺庙中可能收藏有唐本(指由中国流传到日本的古籍)中的一些数学书籍，于是前往杜南搜寻并复制带回江户研究。从这样的轶事中，我们可以看出关晓·何在他的研究中参考了中国的数学著作。

从小河的数学成就来看，对其研究影响较大的中国数学著作有杨辉的《算法》(1378)和《清代天文学概论》等。杨辉的算法是杨辉的《乘除变》(上册《算法与变》，中册《乘除变与算宝》)。与石忠荣合著)，共同刻制的简化的场木比较法乘除法和从古人提取赔率的算法，在朝鲜重新刻制后传入日本并保存下来。小何从“杨辉算法”中得到了“海角管理”的名称和问题形式，并加以完善。另外，“杨辉算法”

晁的《天文成就一瞥》对萧何也有影响。萧何的《发明计时》(或称天文成就三图)是这本书第三卷的解说，所以看起来萧何是认真研究过这本书的。元代郭守敬授时历中有对“三异”的解释，可能导致了萧何的“求异”。

西方数学的影响直到明治时代以后才被研究。17世纪中叶，荷兰莱顿大学的F. van Schooten教授有一个学生叫P. Hartsingius。他是日本人。这是从荷兰阿姆斯特丹大学的D.J. Coltee Weg教授写给林博士的信中得知的。这名日本人后来是否回到日本已经无法确认。但根据日本数学史家三岛和夫的考证，当时日本有一位医学家叫哈氏八宗，此人可能就是哈氏窦。如果这个推测是正确的，那么说明当时已经有人把西方数学带回日本了，所以可以认为是关晓晓。

从上面的介绍可以看出，关晓鹤从以往数学家的研究中发现问题，并在理论上解决这些问题或者推广到一般方法。此外，他还有自己的开创性研究。这些成果奠定了求和的基础，摆脱了日本数学家简单介绍中国数学的传统束缚，成为后世和数学家的典范。

关柳数学教育与关柳弟子

关晓鹤作为一名数学家，也是一名数学教育家。他一生亲自教导过的弟子有数百人，其中最杰出的是荒木村上和健二，健二两兄弟。在村上的弟子中，有毕，在中根元贵的弟子中也有。在袁贵的弟子中，最有名的就是住在山路上的那个。萧何及其弟子的研究，构成了和算最大的流派之一——管六(管六所有代数专家的家谱如下图所示)。和萧何创立的教育方法有很大关系。他根据学生情况分为五个等级，每个等级都配有相应的具体数学内容和具体教材。初级教学是珠算。每完成一级的学习，“从演戏到从舞台跳到舞台”的高级技术，授予相应的“免试证书”，相当于现在的毕业证书。共有五个等级:“免见题”、“免藏题”、“免盖题”、“免印”。后来这种方法不断发展，成为一种严格的教育制度。而且最后只有几个高等级的弟子得到了封印。后来随着数学研究的发展，加入到各个层次的学习内容不断增加，五段免试制度也越来越完善和严格。山道主成为观六掌门时，据说规定一代只传一个儿子和两个高徒。

关于所用的教材，除了关晓鹤的著作，其他关刘人数学家也写过教材，如居住在卢杉的《关刘算术》45卷，作为关刘人的启蒙教程；Kurujima Yitai的25卷《广益计算阶梯》也作为数学初学者的教材。

可见，关晓鹤创立的五段免修制，已经萌芽了班级授课制。

附:闭流家谱