高中数学问题

简单命题和复合命题的区别

文/李三平罗增儒

高一新教材增加了“简单逻辑”一节。在教学过程中，教师和学生都不同程度地存在一些困难和问题。比如关于“简单命题”和“复合命题”的区分，就有很多不同的观点。即使在中学数学教育杂志上，对这个问题的争论也很多，很难形成统一的认识。我们认为这主要是由于缺乏区分的标准。

对1定义的理解

根据教科书的定义，没有逻辑连词“或”、“非”的命题称为简单命题(有逻辑书的称为原子命题)。认为简单命题是逻辑演算的最基本单位，应视为不可分割的整体。比如“3是12的除数”“0.5是整数”都是简单的。

由简单命题和逻辑连词组成的命题是复合命题。比如“20可被4或5整除”、“平行四边形的对边相等且平行”、“2非质数”都是复合命题，因为它们分别含有逻辑连词or、and。

几个有争议的例子。

从简单命题和复合命题的定义到判断和区分，看似容易理解和掌握，实则不然。请看下面的例子。

举例:说明下列命题是简单命题还是复合命题:

(1)“明天早上我去教室或者图书馆”；

(2)“一组对边平行相等的四边形是平行四边形”；

(3)“4的平方根是2或-2”；

(4)“方程x2-5x+6 = 0中的两个是x = 2或x = 3”；

(5)“实数的平方是正数或0”。

这是杂志上经常出现的几个命题，有争议。以命题(3)为例。

第一种观点认为，命题(3)是一个简单命题。这是因为，如果它是一个复合命题，有

p: 4的平方根是2；

q: 4的平方根是-2；

p或q: 4的平方根是2或-2。

由于这里的P和Q都是伪命题，根据真值表把P或Q看作P和Q之间的“或”连接形式是不正确的。所以命题(3)是一个简单命题(这里不涉及P和Q用“或”连接的形式是否正确)。

第二种观点认为命题(3)是复合命题。先把命题(3)改成它的等价形式，可以写成:“4的平方根是2或者4的平方根是-2”。这时，有了。

p:4的平方根是2；

问:4的平方根是-2；

q或p的平方根:4是2或者4的平方根是-2。

因为“P或Q”是命题(3)的等价命题，所以有些文章认为命题(3)是复合命题。

类似于第二种观点，有作者认为命题(3)等价于“4的平方根可能是2或者4的平方根可能是-2”，所以有。

p:4的平方根可能是2；

q:4的平方根可能是-2；

q或p: 4的平方根可能是2，也可能是-2。

命题(3)是一个复合命题，因为此时它等价于“P或Q”。

那么，命题(3)是简单命题还是复合命题呢？

3区分和判断的标准

在我们看来，关于命题(3)区分的争议，主要是因为缺乏区分和判断的“标准”。

数学中一个问题的讨论，一方面可以从形式出发，另一方面也可以从本质出发。例如，根据部首的定义，我们应该说

作为一个激进分子，这其实是从形式上来说的。化简后可以得到结果是4(本质上)，这是一个代数表达式。尽管如此，我们仍然说它是一个激进的。例如，数学中已经引入了大量的符号:

等等。这是为了讨论的方便和简洁而引入的。

但更重要的是理解和掌握它的本质。

我们认为，以“本质”作为判断和区分一个命题是简单命题还是复合命题的“标准”是恰当的。其中一个很重要的原因是，它有助于学生理解和掌握命题本身。按照这个标准，我们说命题(3)是复合命题。第二种观点基于本质。这里需要说明的是，命题(3)并不等同于“4的平方根可能是2或者4的平方根可能是-2”。命题中出现“可能”二字，使得在简单逻辑范围内无法判断其真假。像这样包含“必然”、“可能”等逻辑常数的逻辑系统，就叫做“模糊逻辑”。不能再把它当成简单逻辑中的命题。同样，命题中出现“不一定”、“可能”等词语，也超出了简单逻辑的讨论范围。

以下是其他几个命题的例子。根据“标准”的本质来区分和判断。

解析:命题(1)和(2)是简单命题。虽然分别含有“或”和“和”，但不是逻辑连词，应该算是自然语言中的连词。

逻辑连词“或”和“起”与自然语言中的连词意义相似，但又不完全相同。在简单的逻辑中，or是“非此即彼”(从真值表中很容易知道)，但在自然语言中，它往往取“非此即彼”的意思。命题(1)中的“或”是“非此即彼”因此，命题(1)是一个简单命题。命题(2)中“和”的含义与自然语言中“和”的含义相同，即只有当“一组对边平行”和“相等”同时存在时，四边形才是平行四边形，不可分，就像“小王和萧蔷是好朋友”中的“和”一样。

命题(4)的条件和结论都是开句，与简单逻辑中的略有不同，但这里不作严格区分，仍视为简单逻辑中的一个命题。命题(4)本质上等价于“方程X2-5x+6 = 0有x = 2的根或者方程X2-5x+6 = 0有x = 3的根”。因此，命题(4)等价于方程X2-5x+6 = 0。

命题(5)也是一个复合命题，完全表述为“所有实数的平方都是正的或0”。这个命题含有“量词”，与简单逻辑中讨论的命题不同。我们将在另一篇文章中讨论这类命题。

以一个命题的本质作为区分和判断的“标准”，其中一个重要的步骤就是先把这个命题变成它的等价命题。这个区分判断的标准也适用于一些没有明确包含逻辑连词的命题形式。

如“3≥2”、“24既是8的倍数又是6的倍数”、“两个角成45°的三角形是等腰直角三角形”不含逻辑合取，但分别等价于“3 > 2或3 = 2”、“24是8的倍数又是6的倍数”、“有两个角”。

参考

1人民教育出版社中学数学室。全日制普通高中教材(试修订？数学上册(一)是老师的教学用书。北京人民教育出版社2000年。

2宫磊。论学习与思考的“命题”。中学数学教学参考，2002，9

3徐彦明。关于命题困惑的分析。中学数学教学参考，2002，9

4秦清瑶，张德东。“简单逻辑”教学中存在的问题。中学数学教学参考，2002，9