如果不用极限的思想来考虑微积分，那微积分是什么？

极限思想是现代数学中的重要思想，数学分析是以极限概念和极限理论(包括级数)为主要工具研究函数的学科。所谓极限思想，是指用极限的概念来分析和解决问题的一种数学思想。用极限思想解题的一般步骤可以概括为:对于所考察的未知量，先尝试构思一个与之相关的变量，并确认这个变量通过无穷过程的结果就是未知量；最后通过极限计算得出结果。极限的思想是微积分的基本思想，函数的连续性、导数、定积分等数学分析中的一系列重要概念都是借助极限来定义的。如果你想问“数学分析的主题是什么？”那么可以一言以蔽之:“数学分析是用极限思想研究函数的学科”。从哲学上讲，我们只能定义两者之间的一种等价关系，满足自反性、对称性、传递性和替换公理(这个不知道怎么翻译)，这样在很多情况下就可以根据需要任意替换。用0.99999999乘以10来证明它等于1，其实是一个错误的循环证明。真正的证明其实是可以在不破坏实数域现有运算的情况下，定义两者之间的等价关系。当然，这又要追溯到十进制和级数的收敛。数学规律是不客观存在的。与物理化学不同，数学是一门人工创造的学科。所有的数学体系都是建立在最基本的不能也不需要证明的公理之上，通过严格的逻辑推导得出一个又一个结论。但是，微积分的逻辑推导必须有极限的预定义。如果舍弃极限，导数的计算不严格，积分只能近似。可以说极限定义的引入标志着微积分的计算从大约等号走向等号。至于0.9999…和1，如果你觉得不相等，问题来了，两者有什么区别？你会发现你写不出来，或者写一个无穷小量。无限小，似乎又回到极限了？这时候最简单的办法就是稍微修改一下中小学“相等”的定义，把两个差无穷小的数定义为相等。这个修改不会给原系统(即中小学数学)带来任何矛盾，还顺便满足了0.3333× 3 = 1的问题。