戴维·希尔伯特是什么样的数学家？

希尔伯特于1900年8月8日在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了数学家们在新世纪应该努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展，在世界范围内产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19年末和20世纪初数学的一面旗帜。希尔伯特被称为“数学的无冕之王”。

(著名的哥德巴赫猜想也是问题之一。以陈景润为代表的中国数学家取得了重大突破，但还没有完全解决。)

出生于东普鲁士(前苏联加里宁格勒)哥尼斯堡附近的威劳。中学时，希尔伯特是个好学的学生，对科学尤其是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活而深刻地掌握和运用老师讲课的内容。1880年，尽管父亲希望让他学习法律，他还是进入了哥尼斯堡大学学习数学。1884获得博士学位，后来获得讲师资格，在这所大学晋升为副教授。1893年被任命为正教授，1895年调到哥廷根大学任教授，此后一直在哥廷根生活工作，所以1930年退休。在此期间，他成为柏林科学院传播学院的成员，并获得了斯坦纳奖、罗巴切夫斯基奖和波义耳奖。1930年获得米塔·列夫勒瑞典学院科学奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家。第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府出版的《致文明世界》一书上签名，进行欺骗性宣传。战争期间，他敢于发表文章纪念“敌方数学家”达布。希特勒上台后，抵制并撰文反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府愈演愈烈的反动政策，许多科学家被迫移民，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落，希尔伯特于1943年孤独终老。

希尔伯特是二十世纪对数学有深远影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界上重要的数学研究中心，培养了一批杰出的数学家，为现代数学的发展做出了巨大贡献。希尔伯特的数学工作可以分为几个不同的时期，在每个时期他几乎都专注于一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容包括:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，研究课题穿插:狄利克雷原理与变分法、韦林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域，他做出了巨大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有自己的问题，这些问题的解决对科学的发展具有深远的意义。他指出:“只要一个科学分支能够提出大量的问题，它就是充满活力的，问题的缺乏就表明独立发展的衰落和终止。”在巴黎举行的1900国际数学家大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名演讲。根据过去特别是十九世纪数学研究的成就和发展趋势，他提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称为希尔伯特问题，后来成为许多数学家试图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深远的影响，起到了积极的推动作用。希尔伯特问题有的已经圆满解决，有的还没有解决。他演讲中阐述的每一个数学问题都能解决的信念，对数学家是一个极大的鼓舞。他说:“在我们中间，我们经常听到这样的声音:这里有一道数学题，找出它的答案！”你可以通过纯思维去发现，因为数学中不存在不可知。”30年后，1930，他在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的演讲中，再次充满自信地宣称:“我们必须知道，我们一定会知道。“希尔伯特的《几何基础》(1899)是一部公理化思想的杰作。欧几里得几何在书中被整理出来，成为基于一组简单公理的纯演绎系统，并讨论了公理之间的关系和整个演绎系统的逻辑结构。1904年开始研究数学基础问题。经过多年酝酿，在20世纪20年代初，他提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议将数学从若干形式公理形式化为一个符号语言系统，并从绝不假设无限实在的观点出发，建立相应的逻辑系统。然后，研究这种形式语言系统的逻辑性质，从而建立元数学和证明理论。希尔伯特的目的是试图给出一个形式语言系统不矛盾的绝对证明，从而克服悖论带来的危机，一劳永逸地消除对数学基础和数学推理方法可靠性的怀疑。然而，在1930年，年轻的奥地利数学逻辑学家哥德尔(K.G？Del，1906 ~ 1978)得到一个否定的结果，证明希尔伯特方案是不可能实现的。然而，正如哥德尔所说，希尔伯特在数学基础上的方案“仍然保留着它的重要性，继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷，包括他著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程的一般理论基础》等。他与他人合著了《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何》和《数学基础》。

希尔伯特问题

在巴黎举行的1900国际数学家大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名演讲。根据过去特别是十九世纪数学研究的成就和发展趋势，他提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称为希尔伯特问题，后来成为许多数学家试图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深远的影响，起到了积极的推动作用。希尔伯特问题有的已经圆满解决，有的还没有解决。他演讲中阐述的每一个数学问题都能解决的信念，对数学家是一个极大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题属于四大块:1到6的问题是基础数学问题；问题7到12是数论问题；问题13到18属于代数和几何问题；19至23题属于数学分析。

(1)康托连续统的基数。

1874年，康托尔推测可数集基数和实数集基数之间不存在其他基数，即著名的连续统假说。1938年，居住在美国的奥地利数学逻辑学家哥德尔证明了连续统假说和ZF集合论的公理系统之间并不矛盾。1963年，美国数学家P.Choen证明了连续统假设和ZF公理是相互独立的。因此，连续统假说不能被ZF公理所证明。从这个意义上说，问题已经解决了。

(2)算术公理系统不矛盾。

欧几里得几何的不矛盾可以归结为算术公理的不矛盾。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论的方法来证明，但哥德尔在1931发表的不完全性定理否定了它。gnc(G . genta en，1909-1945)1936利用超限归纳法证明了算术公理系统的不矛盾性。

(3)仅根据契约公理无法证明两个等底、等高的四面体体积相等。

问题的意义是有两个高度相等的四面体，不能分解成有限个小四面体，使两个四面体全等(M. DEHN)已在1900中解决。

(4)以直线作为两点间最短距离问题。

这个问题比较笼统。有许多几何图形满足该属性，因此需要一些限制。1973年，苏联数学家波格列夫宣布在对称距离条件下解决了这个问题。

(5)拓扑成为李群(拓扑群)的条件。

这个问题简称为连续群的解析性质，即是否每个局部欧氏群都一定是李群。1952由格里森、蒙哥马利和齐宾解决。1953，日本的山脉秀彦得到了一个完全正的结果。

(6)在数学中起重要作用的物理学公理化。

1933年，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫公理化了概率论。后来，他在量子力学和量子场论方面取得了成功。然而，许多人对物理学的所有分支是否都可以完全公理化存有疑虑。

(7)一些数的超越性证明。

证明:如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α β一定是超越数或者至少是无理数(例如2√2和eπ)。苏联的gel fond(1929)，德国的Schneider和Siegel(1935)独立证明了其正确性。但是超越数的理论还远未完成。目前没有统一的方法来确定给定数是否超过数。

(8)素数分布问题，特别是对于黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数* * *。

素数是一个非常古老的研究领域。希尔伯特在这里提到了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数。黎曼猜想至今未解。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前还没有最终解决，最好的结果属于中国数学家陈景润。

(9)任意数域中一般互易定律的证明。

1921基本由日本高木贤治解决，1927基本由德国E.Artin解决。然而，范畴理论仍在发展。

(10)能否通过有限步判断不定方程是否有有理整数解？

求整系数方程的整数根称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。1950前后，戴维斯、普特南、罗宾逊等美国数学家取得了关键突破。在1970中，Baker和Feros对含有两个未知数的方程作出了肯定的结论。1970.苏联数学家马蒂·塞维克(Marty Sevic)最终证明，总的来说，答案是否定的，尽管结果是否定的，但它产生了一系列有价值的副产品，其中许多都与计算机科学密切相关。

(11)代数数域中的二次型理论。

德国数学家哈塞和西格尔在20世纪20年代取得了重要成果。20世纪60年代，法国数学家A.Weil取得了新的进展。

(12)类域的组成。

即把阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任何代数有理域。这个问题只有一些零星的结果，远没有完全解决。

(13)二元连续函数组合解七次一般代数方程的不可能性。

方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根取决于三个参数A、B和C；x=x(a，b，c).这个函数可以用一个二元函数来表示吗？这个问题即将得到解决。1957年苏联数学家阿诺德证明了任何在[0，1]上连续的实函数f(x1，x2，x3)都可以写成∑ hi (ξi (x1，x2)，x3)的形式(I .安德雷·柯尔莫哥洛夫证明了f(x1，x2，x3)可以写成∑ hi (ξ i1 (x1)在1964中，Vituskin推广到了连续可微的情况，但解析函数的情况没有解决。

(14)某些完备函数系的有限证明。

即多项式fi (I = 1，...，Xn)，其中R是由有理函数F(X1，...，Xm)和f .日本数学家永田正芳在1959中用漂亮的反例给出了这个与代数不变量有关的问题的否定解。

(15)建立代数几何的基础。

荷兰数学家范德瓦尔·邓1938到1940，韦伊1950已经解决了。

注1舒伯特计数微积分的严格基础。

一个典型的问题是:三维空间有四条直线。有多少条直线能与所有四条直线相交？舒伯特给出了直观的解决方案。希尔伯特要求将问题一般化，并给出严格的依据。现在有一些可计算的方法，与代数几何密切相关。但是严格的基础还没有建立起来。

(16)代数曲线曲面的拓扑研究。

这个问题的前半部分涉及代数曲线中闭分支曲线的最大数。后半部分要求讨论dx/dy=Y/X的极限环的最大个数N(n)和相对位置，其中X和Y是X和Y的N次多项式，对于n=2(即二次系统)的情况，1934，Froxianer得到N(2)≥1；1952中，宝婷得到n(2)≥3；1955年，苏联的波德洛夫斯基宣称n(2)≤3，这是震惊了一阵子的结果，却因为一些引理被否定而遭到质疑。关于相对位置，中国数学家和叶在1957中证明了(E2)不超过两个字符串。在1957中，中国数学家秦元勋、蒲福进给出了一个具体的例子，n = 2的方程至少有三个级数极限环。在1978中，在秦元勋和华的指导下，中国的石松龄和王分别给出了至少四个极限环的具体例子。在1983中，秦元勋进一步证明了二次系统至多有四个极限环，结构为(1，3)，从而最终解决了二次微分方程解的结构问题，为研究希尔伯特问题(16)提供了新的途径。

(17)半正定形式的平方和表示。

有理函数f (x1，...，xn)对于任何数组(x1，...，xn)。是否确定F可以写成有理函数的平方和？1927 Atin已经明确解决。

(18)用全等多面体构造空间。

德国数学家别伯巴奇(1910)和莱因哈特(1928)做了部分解答。

(19)正则变分问题的解总是解析函数吗？

德国数学家伯恩特因(1929)和苏联数学家彼得罗夫斯基(1939)已经解决了这个问题。

(20)研究一般边值问题。

这个问题进展很快，已经成为数学的一大分支。前几天还在研究开发。

(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类线性微分方程解的存在性证明。

这个问题属于线性常微分方程的大规模理论。希尔伯特本人分别在1905和H.Rohrl在1957获得了重要结果。65438-0970年的法国数学家德利涅贡献突出。

(22)用自守函数化单值解析函数。

这个问题涉及到困难的黎曼曲面理论。在1907中，P.Koebe解决了一个变例，使这一问题的研究取得了重要突破。其他方面没有解决。

(23)开展变分法的研究。

这不是一个清晰的数学问题。变分法在20世纪有了很大的发展。