数学真的可以靠勤奋来弥补吗？
曾国藩是中国历史上最有影响的人物之一，但他从小天资不高。有一天在家学习的时候，一篇文章我重复了很多遍，还在大声朗读，因为他还没有背下来。这时，一个小偷来到他家，潜伏在他的屋檐下，希望在书生上床后得到一些好处。可是等啊等，就是不见他睡觉，还是一遍一遍的看文章。小偷大怒，跳出来说:“你这种水平看什么书？”然后背完文章走人！
中国著名数学家张广厚年轻时刻苦学习的故事将会激励每一个人。张广厚上小学的时候，因为算术成绩不好，没有考上初中，但他没有灰心。他相信只要他努力学习，他就能克服知识上的缺陷，使他的学习更好。于是他认真审视自己的学习问题，尤其是数学不好的原因。经过几个月的刻苦训练，他的学习成绩有了明显的改观，以优异的成绩考上了中学。在中学，他学习更加努力。中学毕业后，他以优异的成绩考上了大学。最后，他努力学习数学，成为国际公认的大数学家。张广厚小学时算术不及格，但后来他成了著名的数学家，这生动地说明了一个道理——勤能补拙。
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学习的秘密:一个故事里隐藏了多少奥秘？？2017-02-03 ?胡燕銮...？来源？阅读1620？转81躲在我的图书馆微信分享:人为什么会痴迷于故事？这个问题让我很困惑。有一次听一个朋友的书。每当西游记在电视上播放，他就看一遍。这部电视剧回放得很糟糕，但他还没看够。？很长一段时间，我都沉迷于理论和观点。因其理论概括能力强，故地理位置优越，气势磅礴。后来发现事实更重要。故事可以包含很多东西，包括理论。事实胜于雄辩。编造一个理论，提出一个想法，很容易，但一个真实的故事，或者一个美丽的故事，绝不是编造那么简单。后来我发现了一个故事，可以让人长久记忆，每次记忆都有不同的感受和启发。后来我深信每一个真相的背后都有无限的玄机！比如下面这个故事:萧平邦彦是亚洲第一位获得菲尔兹奖的数学家。小平邦彦经常说自己没有才华，但是从中学开始，他就是那种做事一丝不苟，全心全意的人。他回忆起第一次学习范德瓦尔写的代数时，他几乎不懂。然后开始抄书，直到看懂为止。？故事结束了。就那么短。似乎没有太多波折。然而，这个故事一直留在我的记忆中。当我第一次看到这个故事的时候，我立刻把它和“勤奋可以弥补”、“坚持最重要”、“聪明人会努力”联系在一起。当然，“抄书是个好办法。”在对这个故事的所有感受中，“抄书是个好办法”占据了压倒性的位置。因为，我想，很多人都有过抄书的经历。比如20世纪最伟大的教育家蒙台梭利，她翻译了两位人类学家的巨著，才在创作《儿童之间》上取得显著成就。翻译完成后，她自己抄写。在中国，许多和尚和道士也抄写经文。这群人中往往有智慧超群的人。过了一段时间，我发现这个故事有了新的内涵。这来自于日常学习过程中的感受:很多重要的书看起来都很费力。小平邦彦的故事启发了我，如果我觉得读书学习很难，其实根本不是问题。因为，如果阅读是简单的，毫不费力的，那就是阅读报纸，而不是学习。即使是平山这么牛逼的人，也不是天生就有天赋的。读数学就像读小说一样容易。后来，我知道了刻意练习的概念，知道了人的活动是在三个方面。舒适区，学习区，恐慌区。呆在舒适区，你什么也学不到，比如大学生从自然数的加减乘除的算术上什么也学不到；在恐慌区活动也很难学到东西，比如高中生，被要求做微分方程；只能在学习区学东西。这个时候，当前的任务比你自己的能力更难，你的水平也在努力实现目标的过程中提高了。？所以，如果你正在做一件很难的事情，你很可能在学习区。这样做了以后，你的能力就增长了。朋友圈的力量后来，我把小平邦彦的故事分享给了我在各种场合聊过的一些朋友。大家的看法五花八门。我的一个朋友数学很好，大学数学考试几乎都是满分。听了小平邦彦的故事，他说:“我经常抄书，抄概念。”这句话平淡无奇，却带给我灵感。任何知识的基石都是基本概念。很多人思路不清，或者知识漏洞百出，观点不明，都是因为概念不清。概念一旦明确，思维就有了生命力。就像这个朋友，他早在大学就发现了这个奥秘。另一个朋友说:“抄书就像抄不会做的题的答案，在抄的过程中可以加深逻辑记忆。”的确，在解决问题的过程中，我们经常会瞟一眼，觉得我能解决这个问题。其实我也解决不了。甚至看到答案和解题过程后，觉得豁然开朗。问题是，即使你突然意识到了，也不一定能掌握。就像这位朋友说的，把不会做的题的答案(包括解题过程)抄下来，可以加深你的逻辑记忆。我高中的时候也是这样。另一个朋友说:“静下心来，一步一步来。”我也同意他的观点。抄书这个动作，可以拉平焦虑和不安，一步一步稳步前进。人的求知欲一旦被点燃，或者外部压力很大，“一口吃个胖子”的欲望就很强烈，总想一口气学到更多。这个时候总觉得进度不尽如人意。如果你能静下心来，一步一步来，就有效率了。专家是如何炼成的？？之后的一段时间，我都在关注“专家是怎么炼成的”这个话题。我从小平邦彦的故事中得到了三点启示。抄书能抄数学家吗？如果抄书能抄数学家，那大街上岂不都是数学家？联想到惠勒说的“没有问题，没有答案”。我想平邦彦一定是带着疑问抄的书。一边抄书，一边思考问题，甚至猜测书的后续内容是什么，边抄边答。把你所想的和书中所写的进行比较，直到你理解它。当他内心迷茫的时候，他在脑海中找到了所有问题的答案。有些是从书上得来的，比如书上给出的答案，有些是他根据书上的提示独立推导出来的，他自然就明白了。？任何知识领域的专家都必须有扎实的基本功。问题是，这个基本功是什么？其实是一种思维结构。对于不同的知识领域，对应的思维结构是不同的。也许是小平邦彦在抄一本书的时候，想了解代数的基本结构。至少，我想了解范德瓦尔代数的思维结构。学习任何知识，掌握任何知识，都要先慢后快。如果小平邦彦只能靠抄书来理解数学，那么他是不可能成为国际数学家的。因为数学方面的著作实在太多了，即使是经典著作也是数不胜数。如果他抄的这么慢，那他什么时候抄？在临摹的过程中，他首先熟悉的是那种思维技巧，这是缓慢的。一旦掌握和掌握了这种思维技巧，那么数学的任何一个分支都有相同的结构，使用几乎相似的思维技巧。那么熟能生巧，不仅仅是解决问题，而是思维的延伸。思维的延伸是发明创造。所以，从学习到发明创新，没有一个尖锐的边界，而是一个连续的过程。前年我关注的是天赋和学习的关系。又得到三个启发:？第一，没有绝对的了解和无知。关键是我今天知道的多不多，今天知道多少，今天知道什么？今天想到了什么问题，找到了什么答案才是关键。包括我们在做一个题目的时候，我犯了一个错误。如果我犯了一个错误，我得到了什么？我做了正确的事。我得到了多少？一是一，二是二，三是三。我们做到了吗？这样做至关重要。对于任何事情，都没有绝对的了解和无知。想办法从无知跨越到理解，甚至是抄书。往前走一步，哪怕是一句话。？第二，不要担心自己有没有天赋，除非你努力过。即使在他开始学习数学的早期，他仍然遇到了很大的困难。当我们在学习中遇到困难的时候，当我们头疼的时候，当我们看不懂的时候，当题目做不出来的时候，我们常常会怀疑自己。我不会数学是真的吗？我没有数学思维？还是说某某真的没有天赋大概，跟天赋无关。比如，认知神经科学研究表明，我们生来就有数学思维，这种思维是烙印在我们的神经结构中的。当然，神经科学研究也表明，我们每个人都是一台超级计算机。时至今日，最先进的人工智能仍然要耗费巨大的精力来模拟普通人所具有的图像识别、情感识别等功能。随着生命科技的发展，我们还不能用无机物制造一个完整的细胞，但是我们普通人的身体里有100万亿个细胞。所以，当我们有自我怀疑的时候，尤其是怀疑自己的学习能力的时候，不要再纠结天赋的问题了，除非努力。既然世界一流水平的数学家都做出了这样的努力，那我们就要问问自己:你有没有做出和他们相当的努力？第二，“如果世界上有奇迹，那也只是努力的代名词。”我们可以解决一个问题，一个中等难度的问题，只是来源于那些基本的知识点和那些基本的思维操作。更难的题目也一样。我们解决了一个非常困难的问题。有一天，我为自己感到骄傲，觉得这是一个奇迹。只是我们之前努力积累的，也就是他们的积分一点一点积累，先微分再积分。其他事情也是如此。我们可以处理越来越多生活中困难的事情，做出更好的作品，写出更好的文章，做出更好的项目，开辟更有前途的项目。这些都是一点一滴积累起来的。都是在学习领域不断面对不适，不断面对挑战，不断做出各种努力的过程中积累起来的。有一次TED演讲“我如何屏住呼吸17分钟”。魔术师大卫？布莱恩描述了他在水下憋气17分半的经历，包括他是如何一步步训练自己的，以及他做过哪些失败和成功的尝试。这个视频我看了几十遍了。因为这个魔术曾经作为实验研究发表在国际四大医学期刊之一的《新英格兰医学杂志》上。更何况这个演讲很震撼。在演讲的前半部分，大卫·布莱恩讲了很多幽默的故事，在屏息的过程中尝试了各种有趣的事情。在演讲的最后，他说:作为一名魔术师，我试图展示一些东西——一些看似不可能的东西。？我觉得魔术，不管是在水下屏住呼吸，还是玩一副牌，都很简单。只是练习，训练，和.....(差点抽泣，忍住眼泪，继续)？是实践，是训练，是尝试。忍受那些极度痛苦的时刻，尽你所能。这就是魔法对我的意义。谢谢你。演讲结束时，布赖恩已经无法控制自己的情绪。我想他原本是想用轻松幽默的风格做这个演讲，同时给观众带来惊喜和笑声。然而，当他谈到自己的训练过程时，他自己也感动了。很多人都梦想或幻想过奇迹发生在自己身上，包括我。我也问过很多关于奇迹的问题。现在，我问:对于那些真正重要的事情，你达到努力的极限了吗？？你怎么知道你已经达到极限了？？是什么阻止你这样做？？昨晚朋友聚会，聊得很开心，一直聊到凌晨1点。一件往事，可以从无限个角度解读。有欢笑，有人们对世界、社会、人性的对错，有对命运的各种理解。一次小型聚会至少可以持续一个月。生活中发生的每一件事都隐藏着无尽的奥秘。