如何理解数学思想方法在中学数学教学中的地位和作用

思维方法是客观存在通过思维活动反映在人的意识中的结果。它是从大量思维活动中获得的产物。经过反复提炼和实践，一次次被证明是正确的，可以反复应用于新的思维活动，产生新的成果。数学思维方法是指将现实世界中的空间形式和数量关系反映到人的意识中，是思维活动的结果。是对数学事实和数学理论(概念、定理、公式、定律等)的本质理解。).因此，数学思想是对数学知识的本质理解，是对数学规律的理性认识，是从一些具体的数学内容和认识数学的过程中提炼出来的数学观点。在认知活动中反复使用，具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指从数学角度提出和解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中所采用的各种方式、手段和途径。数学思想和数学方法密切相关。一般来说，强调指导思想叫数学思想，强调操作过程叫数学方法。

数学思维方法是形成学生良好认知结构的纽带，是从知识到能力的桥梁。中学数学教学大纲中明确指出，数学基础知识是指数学中的概念、性质、规律、公式、公理、定理及其内容所反映的数学思想方法。将数学思想方法纳入基础知识，说明数学思想方法的教学已经引起了教育部门的重视，也反映了我国数学教育工作者对数学课程发展的认识。这既是加强数学素养培养的举措，也是数学基础教育现代化进程的必然和要求。这是因为数学的现代教学是把数学的基础教育建立在现代数学思想的基础上，运用现代数学方法和语言。因此，探索数学思想方法教学中的一系列问题，已成为现代数学教育研究的重要课题。

根据心理发展规律，初中生的思维是从形式思维向辩证思维的过渡，而高中生的思维是辩证思维的形成。数学思维方法的教学不仅有助于学生从形式思维过渡到辩证思维，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径。

从认知心理学的角度来看，数学学习过程是数学认知结构发展变化的过程，是通过同化和适应来实现的。同化是指主体将新的数学学习内容带入自己原有的认知结构，并对新的数学材料进行加工和转化，使其适应原有的教与学的认知结构。所谓适应，就是当主体原有的数学认知结构不能有效同化新的学习材料时，主体进行调整，改造原有的数学内部结构，以适应新的学习材料。在同化中，数学基础知识不具备思维特征和主动性，无法指导“加工”过程。而心理成分只是给主体提供了欲望和动机，提供了主体的认知特征，并不能单独实现“加工”过程。数学思维方法不仅提供思维策略(设计思路)，还提供实现目标的具体手段(解题方法)。其实数学中的转化和回归就是实现新旧知识的同化。和同化一样，适应也是在数学思维方法的指导下进行的。积极教授数学思想方法，将极大地促进学生数学认知结构的发展和完善。

从学习迁移的角度来看，数学思想方法有利于学生的学习迁移，尤其是原理和态度的迁移，可以大大提高学习质量和数学能力。布鲁纳认为，“学习基本原理的目的是促进记忆的丧失，而不是全部，但剩下的东西会让我们在需要的时候一次重新构思一件事。”辉煌理论不仅是理解现在现象的工具，也是回忆明天那个现象的工具。由此可见，作为数学的“一般原理”，数学思想方法在教学中是非常重要的。所以，对于中学生来说，无论将来做什么，只有深深铭刻在脑海里的数学思维方法，才会随时随地发挥作用，终身受益。

二、数学思想方法的教学原则

数学思想方法的教学原则是解释数学思想方法的教学规律。中学数学课程内容是由具体的数学知识和数学思想方法构成的有机整体。现行数学教材的编排一般是沿着知识的纵向进行的，大量的数学思想方法只包含在数学知识的体系中，没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。在数学思想方法教学中，必须在实践中探索规律，形成数学思想方法教学的指导原则。数学思维方法的建构有三个阶段:潜意识阶段、清晰成型阶段和深化阶段。总的来说，要以渗透性原则为主线，结合重复性、系统性、清晰性原则。它们相互联系，相辅相成，共同构成了数学思维和方法教学的指导思想。(如下图所示)

1.渗透性原则:在具体知识的教学中，一般不直接指出所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的学习情境和教学过程，有意识地引导学生理解其中蕴含的数学思想和方法，使他们潜移默化地理解和掌握。虽然数学思维方法和具体数学知识是一个有机整体，相互联系，相互依存，共同发展，但具体数学知识的数学不能代替数学思维方法的数学。一般来说，数学思想方法的教学总是以具体的数学知识为基础，在知识教学过程中实现的。数学思维是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题和体现数学思维的手段和工具。因此，数学思维方法是高度抽象和概括的。如果数学方法还具有某种外在的形式或模式，那么作为一种数学方法的概括的数学思想就只是一种意识或概念，很难找到一种外在的固定形式。所以，数学思想方法的形式永远不可能一蹴而就，必须日积月累，长期渗透，才能让学生逐渐掌握。

数学思想方法的渗透主要是在具体知识的教学过程中实现的。因此，贯彻渗透性原则，必须不断优化教学过程。比如概念的形成过程；公式、规则、性质、定理等结论的推导过程；解题方法的思维过程；知识的总结过程等。，只有在这些过程的教学中，数学思想方法才能充分显示其生命力。如果取消或压缩教学的思维过程，把数学教学当成知识结论的教学，就失去了渗透数学思维方法的机会，使之无用武之地。

2.重复原则:学生对数学思维方法的理解和掌握只能遵循从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的认知规律。所以这个认知过程是长期的，反复的。

从一个漫长的学习过程来看，学生对每一种数学方法的理解都是通过反复理解和运用形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋式上升过程。对于同一种数学思想方法，要注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的理解。

此外，由于个体差异的存在，与具体的数学知识相比，学生对数学思维方法的掌握往往表现出更大的不同步性。在教学中要注意给差生更多的思考，接受理解的时间会超过这个过程，或者人为缩短，导致学生囫囵吞枣。长此以往，就会形成更好更差的两极分化局面。

3.系统性原则:和具体的数学知识一样，只有形成了具有一定结构的系统，数学思维方法才能充分发挥其整体功能。数学思维方法有不同的层次。对于某一种数学思想，它所总结的一种数学方法和串联起来的具体数学知识，也必须形成自己的体系，才能被学生理解和掌握。这是数学思想方法教学的系统性原则。

数学思想方法的系统学习一般需要从两个方面进行:一方面，需要研究在每一门具体的数学知识的教学中，可以教授哪些数学思想方法。另一方面，要研究那些知识点教学中可以渗透的一些重要的数学思想方法，从纵向和横向两个维度梳理出数学思想方法的体系。如数列一章体现了函数与方程、等价变换、分类讨论等重要数学思想，以及待定系数法、配点法、换元法、消元法、“归纳—猜想—证明”等基本数学方法。

4.清晰性原则:在中学数学教材中，数学思想方法的内容比较薄弱。除了一些具体的数学方法外，一些重要的数学思想方法并没有清晰系统的阐述，一直被包含在基础知识的教学中。从数学思想方法教学的全过程来看，只是长期的、反复的、不明确的渗透，会影响学生认识从感性到理性的飞跃，阻碍学生自觉掌握和理解。渗透性和清晰性是数学思想方法教学中的两个辩证方面。因此，在反复渗透的教学过程中，掌握、运用数学思想方法并将其转化为在适当的时候概括、强化和完善某些数学思想方法的能力，并使其内容、名称、规律和使用方法适度清晰，是前提，所以数学思想方法的教学应贯彻清晰性原则。贯彻数学思想阐明原则是学生理解数学思想的关键，也是熟练掌握数学思想、灵活运用数学思想并转化为能力的前提。

比如在解题教学中，经常可以用一题多解、一题多解的教学方法来阐明数学思想方法。一题多解是运用不同的数学思维方法寻求多解；一题多解就是把同一个数学思维方法运用到很多问题中。但在教学中，往往缺乏从数学思想方法的高度阐明本质和一般方法。在解题教学中，明确其中蕴含的数学思想方法，有助于学生掌握规律，使学生的认知能力得到飞跃。

三、中学数学中的主要思维方法

1.中学数学主要思想:函数与方程，数形结合，分类讨论，化归转化。

(1)函数与方程的思想:就是用函数的观点和方法来研究问题，把非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究来解决问题。通常将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题可以简单地用函数思想来解决；几何量的变化也可以通过考察函数值域来解决。比如1990全国高考:如果实数x和y满足(x-2)2+y2 =3，那么最大值为。解析:为了分开，将已知方程两边除以x2，得到。分开变量，get = =。这个公式代表一个二次函数。很容易知道当=2表示x=时，存在最大值3，存在最大值。这个问题不是函数，而是函数。这不就是函数思想的精髓吗？

(2)数形结合的思想:数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学，所以数学研究总是围绕着数和形展开的。“数”是指方程、函数、不等式和表达式，以及代数中的一切；“形”是指数字、图像、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定几何图形的性质，几何图形的性质反映数量关系。数形结合，就是要把握数与形的内在联系，用“形”直观地表示数，用“数”精确地研究形华曾说:“数少则直观少，数少则难以细致入微。”通过深入的观察、联想，从形到数的思考，从数到形的思考，用图形直觉来归纳直觉。例如，假设x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，则x1+x2等于()(A)6(B)3(C)2(D)1。解析:构造函数。图像关于直线y=x对称，直线y = 3-x和y=x相互垂直，所以y = 3-x和y = 3-x与y=10x的交点为P1(x1，y1)P2(x2，y2。

(3)分类讨论思路:是根据数学对象本质属性的异同，将数学对象分为不同种类的思维方法。分类以比较为基础，可以揭示数学对象之间的内在规律，帮助学生总结数学知识，使所学有条理。

数学上有两种分类:现象分类和本质分类。前一种分类是基于被分类对象的外部特征和外部关系，如复数分为实数和虚数。这种划分看似一目了然，却无法揭示被划分对象之间的本质联系。后一种分类是基于对象的本质特征和内在联系，如按单调性或有界性分类的函数，按圆柱、圆锥、平台分类的多面体等。分类讨论的原因主要有:①数学概念引起的分类讨论；(2)数学定理、性质、公式的限制条件引起的分类讨论；(3)数学公式变形所需的限制条件引起的分类讨论；④图形位置和大小的不确定性引起的分类讨论；⑤对于有参数的问题，要综合分类讨论参数的允许值。

(4)转换与转化思维:在教学研究中，将一个物体在一定条件下转化为另一个物体的数学思维称为转化思维。具体体现在解决数学问题上，就是把原来的问题转化为我们熟悉的、已经解决的或者容易解决的问题。至此，解题过程就是一个不断转化的过程。转换转化的一般原则是:①转换目标简单化原则；(2)和谐统一原则(变换要朝着使所要解决的问题在形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更加统一和恰当。);③具体化原则；(4)标准形式化原则(把要解决的问题形式化地归结为这类问题的标准形式化。标准形式是指已建立的数学模型。如二次函数y = ax2+bx+c(a≠0)；椭圆方程)；⑤低层次原则(解决数学问题时，要尽量把高维空间要解决的问题变成低维空间的问题，把度数高的问题变成度数低的问题，把多度数的问题变成少元素的问题。这是因为低层问题比高层问题更直观、具体、简单。转换与转化的策略有:①已知与未知之间的转化(已知条件往往包含丰富的内容，从而发掘其隐含条件，使已知条件向明确的方向转化，如综合法；对于一个未知的新问题，想办法通过联想转化为已知的，或者从结论转化，比如分析)。(2)正反转化(在处理一个问题时，按照习惯性的思维方式从正面思考，遇到困难，甚至不可能，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破的效果)。(3)数形转换(数形结合的本质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系变得直观生动，有利于寻找解决问题的方法)。④一般转化和特殊转化。⑤复杂与简单要素之间的转化(将一个复杂而陌生的问题转化为一个简单而熟悉的问题来解决，是一个重要的原则)。

高中数学多涉及化归思想，如超越方程的代数，三维空间的平面化，复数问题的实数等。为了实现转化，相应地产生了许多数学方法，如消元法、换元法、镜像法、待定系数法、配点法等。通过这些数学方法的运用，学生可以充分体会到数学思想在数学领域中的地位和作用。

2.中学数学中的基本数学方法

(1)数学中几种常见的求解方法:配点法、消元法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等。

(2)数学中几种重要的推理方法:综合与分析、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、归谬法与同归法；

(3)数学中几个重要的科学思维方法:观察与品尝、概括与抽象、分析与综合、特殊性与一般性、比较与分类、归纳与类比、直觉与顿悟。

第四，数学思维教学方法的探索。

1.在传授基础知识的过程中，适时渗透数学思想方法。

在教学过程中，要注重知识的形成，特别是定理、性质、公式的推导和例题的求解。基本的数学思想和方法是在这个过程中形成和发展的，基本的数学技能也是在这个过程中学习和发展的。各种数学能力也在这个过程中得到培养和锻炼，数学思想和概念也在这个过程中形成。

(1)重视概念的形成过程。

概念是思维的细胞，是感性认识向理性认识飞跃的结果。飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，要以数学思维方法为指导。因此，概念教学要充分体现这一过程，引导学生揭示隐藏在概念中的思维内核。比如高一新教材，数学上册第二章函数(一)，关于函数单调性的知识，都是将数形结合思想渗透到教学中的最佳素材，所以在教学中要充分抓住这个有利时机。函数f(x)在区间a中是增函数还是减函数，可以通过下图直观地表示出来:

通过图像的可视化，学生可以深入理解函数的单调性，对增函数和减函数的定义也有了更清晰的认识。

(2)引导学生探索、发现、推导定理和公式的过程。

在定理、性质、规律、公式、定律的教学中，要引导学生积极参与到探索、发现、推导这些结论的过程中，并在数学思维方法的指导下不断理清各个结论的因果关系，最终引导学生得出结论。

比如高一新教材《数学上册第三章(一)》中，教师要抓住时机，引导学生观察数列是特殊函数。关于等差数列，从通式和求和公式来看，an和Sn都是n的函数，当d≠0时，an是n的一次函数，Sn是n的二次函数，所以我们可以利用一次函数和二次函数的知识来解决等差数列的通项和前n项之和的问题。函数的形象是函数的灵魂。An = A1+(N-1) d图像是直线上的一点，Sn = Na1+d图像是抛物线上的一点，我们可以借助图形直觉来解决问题。

2.在总结复习的教学过程中，揭示、提炼、概括数学思想方法。

因为同一个内容可以包含几种不同的数学思想方法，而同一个数学思想方法往往分布在许多不同的基础知识中，所以要及时总结和复习，加强刺激，让学生在头脑中留下深刻的印象。这样有意识、有目的地结合数学基础知识来揭示和提炼数学思想方法，既可以避免单纯追求数学思想方法教学的问题，又可以促使学生实现从感性到理性的飞跃。如数列一章，体现了函数与方程、等价变换、分类讨论等重要数学思想，以及待定系数法、配点法、换元法、消元法、“归纳—猜想—证明”等基本数学方法。复习总结可以结合知识点和典型例题加强训练。

3.抓应用，不断巩固和深化数学思想方法。

在把握学习重点、突破学习难点和解决具体数学问题中，数学思想方法是处理这些问题的向导。解决这些问题的过程，都是一个反复应用数学思维方法的过程。因此，有条件也有可能时不时地关注数学思想方法的应用，这是一种有效的、常用的数学思想方法教学方式。它得到了巩固和深化。比如2000年全国高考，设{}是一个第一项为1的正项级数，且(n=1，2，3…)，那么它的通项公式为=。

解析:题目给出了关系式(递推公式)和第一项=1，从中可以得到，，从而可以猜测=，从特殊到一般，灵活运用“归纳-猜测-证明”的思维方式猜测结果(填空不需要证明)。

如果我们注意到递推公式是一个关于和的二次齐次公式，我们也可以通过分解因子或者求解一元二次方程来求解，即可以灵活运用方程的思想得到一个更简单的递推公式，然后通过迭代法快速得到。

经过

①(∵& gt；0)(常数)= 0

②

===.