珠海2010初中数学竞赛答案
“数学周刊杯”2010全国初中数学竞赛参考答案
1.选择题(***5题，每题7分，***35分。只有一个选项是正确的。请将正确选项的代码放在问题后的括号内，不填、填多或填错都得0分)。
1.如果为，则的值为()。
(A) (B) (C) (D)
解决方法:由问题设定。
2.如果满足实数A和B，则A的值域是()。
(A)a≤ (B)a≥4 (C)a≤或a≥4 (D) ≤a≤4。
解决方案
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式≥0，解为a≤或a ≥ 4。
3.如图，在四边形ABCD中，∠ B = 135，∠ C = 120，AB=，BC=，CD =，那么AD边的长度是()。
(A) (B)
(C) (D)
解决方案:d
如图，交点A和D为AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E和F。
已知可用
BE=AE=，CF=，DF=2，
所以ef = 4+。
交点a为AG⊥DF，垂足为g，在Rt△ADG中，根据勾股定理得出。
AD =。
4.在一列数中，已知，当k≥2时，
(整数符号表示不超过实数的最大整数，例如，)等于()。
1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解决方案:b
按总和提供
, , , ,
, , , ,
……
因为2010=4×502+2，所以它= 2。
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，-1)，C (-2，-1)，D (-1)。点P1绕B点旋转180，点P2绕C点旋转180，点P3绕D点旋转180，…，重复操作得到点P1，P2，…，然后是点P20655。
(A)(2010，2) (B)(2010，)
(C)(2012)，(D)(0，2)
解:由已知可得B，点和的坐标分别为(2，0)，(2，0)。
记住，其中。
根据对称关系，我们可以得到:
, , , .
序，也可以得到，该点的坐标是()，即()，
由于2010=4 502+2，所以该点的坐标为(2010，)。
第二，填空
6.给定a =-1，2a3+7a2-2a-12的值等于。
解决方案:0
已知(A+1) 2 = 5，所以A2+2A = 4，所以
2 a3+7 a2-2a-12 = 2 a3+4a 2+3 a2-2a-12 = 3 a2+6a-12 = 0。
7.一辆公共汽车、一辆货车和一辆小汽车在一条笔直的公路上匀速向同一个方向行驶。在某一时刻，公交车在前，小汽车在后，面包车在公交车和小汽车中间。10分钟后，轿车追上了面包车。又过了5分钟，车追上了公交车；又过了t分钟，卡车赶上了公共汽车，然后t =。
2010-3-21 12:41回复
122.76.166.*二楼
解决方案:15
在某一时刻，货车与公交车和小汽车的距离为s公里，小汽车、货车和公交车的速度分别为(km/min)，设定货车在x分钟内追上公交车。
, ①
, ② .③
从① ②，你得到，所以，x = 30。所以(分)。
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别为O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0)。如果直线L通过点M (2，3)
解决方案:
如图，将BC交点X轴延伸到点F；连接OB，AF CE，DF并在n点相交。
已知点M (2，3)为OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线将矩形ABFO分成面积相等的两部分。因为点N (5，2)是矩形CDEF的中心，
通过点n (5，2)的直线将矩形CDEF分成两个面积相等的部分。
那么，直线就是所寻求的直线。
设直线的函数表达式为，则
解，所以直线的函数表达式是。
9.如图，射线AM和BN垂直于线段AB，点E是AM上面的一点，过点A的垂线AC分别与BE相交，BN在点F和C，过点C的垂线CD是d，若CD = CF，则。
解决方案:
见题图，设置。
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以。
而且因为fc = DC = ab，也就是说，
解决，或者(放弃)。
Rt delta ∽又是Rt delta，所以，那就是=。
10.对于i=2，3，…，k，正整数n除以I得到的余数是I-1。如果满足的最小值，则正整数的最小值为。
解决方案:因为是的倍数，所以的最小值满足。
其中表示最小公倍数。
因为
因此，满足的正整数的最小值为。
三、答题(***4题，每题20分，***80分)
11.如图所示，△ABC为等腰三角形，AP为底边BC上的高度，D点为线段PC上的点，BE和CF分别为△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF。验证:。
证明:如图，连接ED和FD。因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，FD⊥BC，
因此，D，E，F的三点* * *线..................(5分)
连接自动曝光、自动对焦，然后
因此，△ ABC ∽△ AEF...........(10分)
设AH⊥EF和竖足为h，则AH=PD。可以从△ABC∽△AEF得到。
因此，
因此...........(20分)
2010-3-21 12:41回复
122.76.166.*三楼
12.如图，抛物线(a 0)和双曲线相交于A点和B点，已知A点坐标为(1，4)，B点在第三象限，△AOB的面积为3(O为坐标原点)。
(1)实数A、B、K的值；
(2)以抛物线上的点A为直线AC‖x轴，与抛物线在另一点C相交，求满足△EOC∽△AOB的所有点E的坐标。
解:(1)因为点A (1，4)在一条双曲线上，
因此，k=4。所以双曲线的函数表达式是。
如果点B(t，)，AB所在直线的函数表达式为，则有
求解，。
因此，直线AB与Y轴的交点坐标为，所以
，有组织，
解，或t =(四舍五入)。所以B点的坐标是(，)。
因为A点和B点都在抛物线上(a 0)，所以解是……………… (10点)。
(2)如图，因为AC‖x轴，所以C(，4)，所以Co = 4。BO=2所以。
设抛物线(a 0)与X轴负半轴相交于D点，则D点坐标为(，0)。
因为∠ COD = ∠ BOD =，∠COB=。
(I)围绕O点顺时针旋转△得到△。此时点(2)是CO的中点，该点的坐标为(4，)。
延伸到点使得=，那么点(8，)就是合格点。
(ii)制作一个关于X轴的对称图形δ，以获得一个点(1，)；延伸到点使得=，那么点E2(2，)就是合格点。
所以，这个点的坐标是(8，)，或者(2，)...................................................................................................................................................
13.求满足的所有素数P和正整数M。
解决方法:由问题设定，
因此，由于P是一个质数，或者......(5分)
(1)如果，设，k是正整数，那么，
因此，因此。
所以解决方案是............(10分)
(2) If，let，k为正整数。
当，当，
因此，因此，还是2。
因为它很奇怪，所以，因此。
因此
这是不可能的。
当，，；如果，，没有正整数解；当，没有正整数解。
综上所述，素数p=5，正整数M = 9....................(20分)。
14.1，2，…，2010的2010个正整数能取出的最大数是多少，使任意三个数之和能被33整除？
解决方法:首先，以下数字是61: 11、、、、(即1991)满足题目的条件.........................(5分)
另一方面，假设它是一个满足1，2，…，2010中所列条件的数。对于这n个数中的任何四个，因为
, ,
所以。
所以任意两个数之差都是33的倍数(10点)。
设，i=1，2，3，…，n。
由，由，
因此，即≥ 11............(15分)
≤ ,
所以≤60。所以，n≤61。
综上，n的最大值为61.......................(20分)。