实数理论概述

实数是数学中最基本的概念之一。实数可以和数轴上的点一一对应。数学分析中所研究的函数的自变量都取实值，所以认识和理解实数是建立严格的分析理论(“分析基础”)不可或缺的基础。实数包括有理数和无理数，从欧几里得开始，人们就把它们理解为可公度和不可公度的单位长线段的长度。到了17世纪，人们已经习惯了实数的使用，开始脱离了实数的几何原型，抽象地理解实数。然而，到了19世纪中叶，在严格分析的过程中，人们发现他们对实数尤其是无理数的认识仍然模糊，因为有些事实无法证明(例如柯西无法证明他提出的收敛准则的充分性)，有些证明是错误的(例如波尔扎诺证明了连续函数的中间值)，这促使一批数学家开始关注处理无理数的问题。通过他们的努力，在近半个世纪的时间里，他们终于建立了各种形式不同但本质等价的严格实数理论。所有形式的构造性实数理论都是从有理数开始定义无理数，也就是说数轴上所有有理点之间的空隙(无理数点)都可以由有理数以一定的方式确定。然后证明了这样定义的实数(原来的有理数和新定义的无理数)具有人们过去所知道的关于实数的所有性质，尤其是连续性。这些形式上不同的实数理论由于确定差距的方法不同而相互区分。主要包括:戴德金的有理数的划分方法，康托尔的利用有理数基本列的方法，维尔斯特拉斯的利用无限(无环)小数的方法，以及利用闭区间集和有理性端点的有界单调有理数列的方法。从现代数学的立场来看，上述方法都是基于实数具有某些特征的假设(比如戴德金的方法假设实数的连续性，康托尔的方法假设完备性，闭区间集的方法反映实轴上有界闭集的紧性)，而这些特征在实数范围内都是等价的，所以这些方法定义的实数都是相同的。此外，还有一种完全不同的定义实数的方法(即“实数公理”)。他把实数的一些基本性质列为公理系统，然后把满足这个公理系统的对象定义为实数。基于这些公理的实数理论也等价于基于上述构造方法的实数理论。

当然，还需要指出的是，不仅极限理论需要在实数系中成立，中学数学中的很多初等函数，除了多项式和有理分式，都不能在没有实数的情况下定义。学生很容易将无限无环小数定义为无理数，但在这样定义的实数系中四则运算是如何进行的，还完全不清楚，实际上也不简单。当指数和对数都是实数时，就更难定义了。可见，即使为了给出初等函数的严格定义，也有必要回答什么是实数的问题。当然，这不是中学数学的任务。