如何在一小时内记住中学三角函数的所有公式？

所谓透彻的理解，就是能够从最简单的概念推导出最复杂的结论。所以当我们发现一些知识难以理解的时候，首先要想到的是，我们是否真的搞清楚了这些知识背后最简单的概念。

所以三角函数要吃透，记下来，灵活运用。首先要问:三角函数最简单的概念是什么？

很明显就是sin，cos，tg，ctg这四个概念。这是三角函数的基本元素。遗憾的是，很多人研究三角函数很久了，却知道这四个符号，却没有真正理解其内涵。所谓三角函数，简单来说就是直角三角形的几条边之间的比例关系。假设有一个直角△ ABC，∠C = 90°，对应斜边C，∠ A和∠ B分别对应直角边A和B。

世界上最有效的散步。

然后，Sina = a/c，COSA = b/c，TGA = a/b，CTGA = b/a，其实这四个函数是为了简化直角三角形的比例线段，避免每次都要写很多线段的比例表达式而发明的。SinA代表直角边与斜边之比，cosA代表邻边与斜边之比，tgA代表对边与邻边之比，ctgA代表邻边与对边之比。

把这些最简单的概念讲清楚，三角函数的公式，谁基础多，就不用记了。比如sin2A+cos2A=1，tgA ctgA=1，cosA tgA= sinA，sinA ctgA= cosA。因为这些都是直接从这个基本概念推导出来的，比如cosAtgA= sinA，sinActgA= cosA，这两个公式是颠倒的，很容易把tgA和ctgA混淆，会记成sinAtgA=cosA或者不小心。

CosActgA= sinA。但是，只要我们知道这四个基本概念，我们就会知道世界上最有效的行走方式。

永远不要忘记困惑。所以，真正高效的记忆是建立在透彻理解的基础上的。了解透彻了，十年八年都不会忘记，更不可能说下课了，看完书了，过了一天就忘了。

高中阶段，三角函数最大的变化不是公式变多了，而是基本概念扩大了。也就是说三角函数的取值范围从初中的0度到90度变成了任意角度，也就是从负无穷大到正无穷大。但是新浪= A/C，COSA = B/C，TGA = A/B，CTGA = B/A这四个基本概念没有变。高中学好三角函数，最根本的是在这四个基本概念的基础上，理解“单位圆”的概念。搞清楚了这个单位圆，三角函数的整个高中公式就解出来了，再怎么变也逃不出我们的手掌心。

“标准圆”是以O点为圆心，在坐标轴上直径为1的圆。从这个圆上的任意一点做一条到X轴的垂直线，这条垂直线与X轴和这个点到圆心的连线正好形成一个直角三角形。如图，取直角坐标系中四个象限的单位圆上的任意一点P(x，y)做PMMO，然后

世界上最有效的方法是PO=1，PM=y，那么sinO的值就是PM的长度，也就是P点的纵坐标值Y..同样的，

初中和初中唯一的区别就是初中学的是0到90度，所有的值都是非负的。这里不仅有线段的长度，还有向量值，也就是X和Y可能是负数。在第二象限中，y为正，x为负，所以在这个象限中，sinO为正，cosO为负；在第三象限，X和Y都是负的，所以sinO和cosO是正的；在第四象限，y是

负，X为正，所以sinO为负，cosO为正。

世界上最有效的散步。

把这个道理梳理透彻之后，高中的三角函数的角度变化公式就都不会背了。什么sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ？你认为角沿着X轴对折，从第一象限运行到第四象限。看第四象限对应的Y，所以sin(-θ)=-sinθ，X值还是正的，所以cos(-θ)=cosθ。有了这个东西，剩下的就是千变万化，sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin (θ-3π/2) =-cos θ，cos (θ+π) =-cos θ...反正加个角度，就是PO逆时针转，减。

它是阴性的。我们很快就会知道。这样就完全理解了三角函数的周期性。

然后是三角函数和差公式，同样来自单位圆，无非是单位圆上两点之间的距离。这种推导在所有教科书中都有。看似推导过程漫长，但只要自己在草稿纸上画出来，整个过程就一目了然了。三角函数的和与差公式非常复杂，不仅sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。这些公式翻来覆去，死记硬背，足以把人的数学恐惧症背出来。如果不采用“透彻理解和把握规律”的方法去记忆，就永远学不好三角函数。

其实我们只要记住公式sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ就可以了，剩下的就可以根据我们的基本概念算出来了。因为我们心中有标准圆，无论角度如何变化，只要大脑中似乎有一个闹钟:加一个角度，指针就会逆时针旋转；减去一个角度，指针就会顺时针旋转。有了这个东西，你就不会迷茫于如何改变了。

所以，sin(α-β)= SIN[α+(-β)]= SINαcos(-β)+COSαSIN(-β)，这里多了一个符号，是负的，所以把指针顺时针转到第四象限，这里Y是负的，X是正的，SIN值变成负的，COS值还是正的，所以，

sin(α-β)= sin[α+(-β)]

同理，cos(α+β)=-sin(α+β+π/2)=-SINαCOS(β+π/2)-COSαSIN(β+π/2)，其中π/2相加，指针要逆时针转，SIN要变成COS。根据我们的单位圆，我们可以得到。

Cos( α+β)公式。同样，cos (α-β) = cos [α+(-β)]，我们也很容易知道。

Cos( α-β)公式。至于tg( α+β)，tg(α-β)，ctg(α+β)，ctg(α-β)，

我们只需要知道四个基本概念:新浪= A/C，COSA = B/C，TGA = A/B，CTGA = B/A，这就够了。

tg(α+β)= sin(α+β)/ cos(α+β)，tg(α-β)= sin(α-β)/ cos(α-β)……

以此类推，看似复杂的两个角度的和差公式，在你的脑海里清晰地排列，过了很久很久，你也不会记错一个符号，或者记错一个数列。这种记忆效果比得上任何投机取巧的方法吗？！

至于三角函数的双角公式，就比较简单了。既然我们知道sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ，那么sin 2α= sin(α+α)= sinαcosα+cosαsinα= 2 sinαcosα。下面的cos2α，tg2α，ctg2α的公式，根据单位圆的概念和这四个基本概念就很容易算出来，不需要刻意去记忆。所以初中高中的三角函数就是这么复杂。其实只要记住两点就行了:第一，新浪= A/C，COSA = B/C，TGA = A/B，CTGA = B/A；二、单位圆的图形变化。

其实谁不记得了？这两件事谁都能记住，但为什么那么多人把初高中的三角学当成了畏途？很多人只是在复杂的公式中晕头转向，忘记了最基本的概念和知识之间最基本的关系。所以，如果我们在学习一门看似复杂的知识时感到头疼，在背的时候又觉得忘记了一些看似复杂的公式，那么请你立刻回到最基础的地方去理解，去寻找规律。这是有效记忆的唯一方法。

“正确的学习方法可以把普通人变成天才；错误的学习方法会把一个天才变成白痴。”记住我的话。